Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка: общие понятия, теоремы о виде общего решения однородного и неоднородного уравнений.
Линейным
дифференциальным уравнением
-го
порядка называется уравнение
Если
то уравнение называется однородным,
если
- неоднородным.
Заданные функции
и
предполагаем непрерывными на
,
что обеспечивает существование и
единственность решения задачи Коши.
В дальнейшем для
удобства будем рассматривать только
уравнения второго порядка
и соответствующие однородные уравнения
(1)
В общем случае для уравнений -го порядка рассуждения аналогичны.
Теорема 1.
Любая линейная комбинация
решений
и
уравнения (1) является решением уравнения
(1).
Функции
называются линейно
зависимыми
на
,
если существуют числа
,
из которых хотя бы одно отлично от нуля,
такие, что для каждого
В противном случае функции называются линейно независимыми на .
Для двух функций
и
условие линейной зависимости, очевидно,
равносильно существованию такого числа
,
что для всех
выполняются равенства
или
.
Определителем Вронского, или вронскианом дифференцируемых функций , называется определитель
Если
,
то
Вронскиан линейно зависимых функций тождественно равен нулю.
Если
отличен от нуля хотя бы в одной точке
интервала
,
то функции
и
линейно независимы.
Если и - линейно независимые на решения дифференциального уравнения (1), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке .
Вронскиан решений линейного однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни в одной точке .
Теорема 4 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Общим решением уравнения (1) является множество всех линейных комбинаций любых двух линейно независимых решений этого уравнения.
Доказательство. Пусть и - произвольные линейно независимые решения уравнения (1). По теореме 1 любая линейная комбинация (4)
есть решение этого
уравнения. Покажем, что для любых
начальных условий
можно единственным образом подобрать
постоянные
так, чтобы частное решение
удовлетворяло заданным начальным
условиям. Действительно, из (4) при
получим систему
определитель
которой отличен от нуля, т.к. является
вронскианом линейно независимых решений
и
.
Поэтому по теореме Крамера система
имеет единственное решение при любых
свободных членах
и
.
■
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка (1)
с непрерывными
функциями
описывается следующей теоремой.
Теорема 1.
Общее решение линейного неоднородного
уравнения (1) представимо в виде суммы
какого-либо частного решения
этого уравнения и общего решения
соответствующего однородного уравнения
(2)
Доказательство.
Тот факт, что сумма
является решением уравнения (1), проверяется
непосредственной подстановкой. Проверим,
что
является общим решением. Пусть
и
- линейно независимые решения уравнения
(2). По теореме функция
есть его общее решение и
.
Убедимся, что по любым начальным условиям
постоянные
и
определяются однозначно. Действительно,
определитель системы
отличен от нуля
как вронскиан линейно независимых
решений
и
.
Следовательно, система имеет единственное
решение
,
при любых свободных членах
и
.
■