11. Теорема о единственности решения уравнения при .

Опр.1 Линейное пространство с введенной на нем нормой называется линейным нормированным пространством.

Опр.2 Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Пусть X и Y - линейные нормированные пространства над одним и тем же полем P (R или C). Отображение A, действующее из X в Y, принято называть оператором.

E – тождественный оператор, отображающий каждый элемент в себя.

Опр.3 Оператор называется линейным, если

Опр.4 Линейный оператор называется ограниченным, если

и постоянная не зависит от x.

Наименьшее из чисел c называется нормой линейного оператора A и обозначается .

Теорема . Пусть А – линейный оператор, отображающий банахово пространство в себя, и пусть

|| A || < 1. Тогда оператор существует, ограничен и представим в виде

. (4)

Доказательство. Так как || A || < 1, то . Пространство полное, поэтому из сходимости ряда следует (Теорема. Из сходимости по норме последовательности операторов следует поточечная сходимость этой последовательности. Обратное неверно), что ряд сходится и его сумма является линейным ограниченным оператором.

Для любого имеем . Переходя к пределу при и учитывая, что , получаем , откуда следует (4).■

Следствие 1. Если , то .

Доказательство. Из формулы (4)

■.

Следствие 2. Допустим, что выполнены предположения теоремы. Тогда уравнение имеет в пространстве Х единственное решение . Если , , то , причем .

Доказательство. Из теоремы следует, что существует ограниченный обратный оператор . Поэтому по формуле (4) . Из следствия 1 получим оценку

.

Наконец, заметив, что , получим

.■

Рассмотренная теорема позволяет строить приближенные решения уравнения и оценивать их близость к точному решению.

Пример. Пусть - -матрица. Рассмотрим уравнение с заданным вектором b. Если найдется постоянная такая, что , то по следствию 2 уравнение , а значит, и исходное уравнение, имеет единственное решение

.

Приближенное решение можно искать в виде

.

Параметр зависит от выбора нормы.

Пусть оператор задан матрицей . Если в ввести норму , то ;

если ввести норму то ;

если ввести евклидову норму то , где - наибольшее собственное число матрицы . В частности, если матрица симметрична, то , где -наибольшее собственное число матрицы А.

12. Вывод уравнения колебаний струны конечной длины

В ыведем уравнение малых поперечных колебаний струны – тонкой, гибкой, упругой нити длины . Закрепим концы струны в точках и (рис. 4). Предположим, что плотность струны , в состоянии покоя струна располагается вдоль оси , отклонение струны описывается функцией . Считаем также, что все точки струны движутся перпендикулярно оси , а сила натяжения не зависит от и достаточно велика, что позволяет пренебречь действием силы тяжести. Воспользуемся принципом Даламбера, согласно которому все силы, действующие на любой участок струны, включая силы инерции, должны уравновешиваться.

Выделим участок струны и найдем сумму проекций на ось всех действующих на него сил: сил натяжения и , равных по величине и направленных по касательным к струне в точках и , внешней силы , направленной параллельно оси , и силы инерции.

Сумма проекций на ось сил натяжения, действующих в точках и , равна

где - угол, образованный касательной в точке с абсциссой к струне в момент времени и положительной полуосью .

Проекция на ось внешней силы , действующей на участок струны, равна .

Наконец, сила инерции участка струны равна

.

Так как сумма всех найденных сил должна быть равна нулю, то

Из-за произвольности выбора и отсюда следует, что подынтегральное выражение должно равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени , т.е.

. (1)

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.

Если внешние силы отсутствуют , получаем уравнение свободных колебаний струны. Если струна однородная , то уравнение (1) записывают в виде

.

Для полного описания движения струны следует задать положения и скорости всех точек струны в начальный момент

Эти условия называются начальными условиями.

Кроме того, следует указать, что происходит на концах струны. Так как концы закреплены, то при

Эти условия называются краевыми или граничными условиями.