Вычет функции в изолированной особой точке и его связь с рядом Лорана.
Опр1. Аналитическая в области функция – функция, дифференцируемая в каждой точке этой области
Дифференцируемость в точке означает, что в этой точке существует производная.
Опр2.
Разложение
,
где
- любой простой контур, охватывающий
точку
и расположенный в кольце
функции f,
аналитической в кольце
,
называется разложение в ряд Лорана.
Ряд
называется главной частью ряда Лорана,
ряд
называется правильной частью ряда
Лорана. (z
– произвольная точка внутри кольца).
Опр3.
Пусть функция f(z)
однозначная и аналитическая при
и не аналитическая (или не определена)
в точке
.
Тогда
называется изолированной особой точкой
функции f(z).
В зависимости от поведения функции
вблизи точки
различают 3 вида изолир. особых точек.
Опр4 Изолированная
особая точка
функции f(z)
называется: А) устранимой особой точкой,
если существует конечный предел
;
Б) полюсом, если
;
В) существенно особой точкой, если предел
не существует.
Теор1 Для
того, чтобы точка
являлась полюсом однозначной и
аналитической в кольце
функции f(z),
необходимо и достаточно, чтобы
являлась нулем функции
.
Опр5
Порядок
нуля
функции
называется
порядком полюса
функции
f(z).
Пусть
- полюс порядка m
функции f(z).
Тогда 
где
- аналитическая в окрестности точки
функция, причем
.
Поэтому в некоторой проколотой окрестности
точки
(*)
причем
Опр6.
Вычетом функции f(z)
в изолированной особой точке
называется число
,
где
- окружность с центром в точке
,
проходимая в положительном направлении,
не охватывающая других особых точек и
не проходящая через такие точки.
Теор3
Вычет функции
f(z)
в изолированной особой точке
равен коэффициенту
ряда Лорана функции f(z)
при
;
т.е.
(2)
Док-во:
Коэффициент
ряда Лорана определяется формулой:
Положив
n=
-1, получим (2).
Если
- полюс порядка m, то
Док-во: По теореме 2 в окрестности полюса порядка m ряд Лорана функции f(z) имеет вид:
(4)
Умножим
обе части равенства на
:
Продифференцируем
полученное равенство (m-1)
раз:
Перейдем
к пределу при
:
Т.к. 
, то
Учитывая теорему3, получим формулу (3).
Следствие: Если
- полюс первого порядка:
Теорема Банаха
Опр1. Метрическим
пространством наз-ся пара
,
состоящая из непустого множества X
эл-ов (точек) и вещественной функции
,
определенной для любых
и удовлетворяющей условиям:
1)
2)
3)
Функция
наз-ся расстоянием или метрикой на
множестве X,
число
- расстоянием между точками x
и y.
Примеры:
Множество вещественных чисел с метрикой =
- метрическое пространство
- множество всех
непрерывных на отрезке
функуий.
определим расстояние:
Опр2. Последовательность
точек метрического пространства
называется фундаментальной, если
Опр 2. Метрическое пространство X называется полным, если в нем сходится любая фундаментальная последовательность.
Пусть
- метрическое пространство и
Опр 3. Отображение
f
называется сжимающим отображением,
если существует такое число
,
что
Теорема 1. Сжимающее отображение равномерно непрерывно на X.
Следствие Сжимающее отображение непрерывно на X.
Опр4. Точка
называется
неподвижной точкой отображения
,
если f(x)=x.
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку.
Док-во:
Пусть
- полное метрическое пространство,
- сжатие и
- произвольно взятая точка из X.
Докажем, что
последовательность
- фундаментальная.
Т. к.
,
то при m>n
Это означает, что
послед-ть
фундаментальная. Поскольку пространство
X
полное, то по опр.2.
сходится:
Используем равенство:
.
Перейдем к пределу
при
:
(т.к.
f-непрерыная)
.
Следовательно x
– неподвижная точка отобр.f
Докажем ее единственность.
Если существует
еще одна неподвижная точка, то
