Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(1) с постоянными
коэффициентами
.
Для того, чтобы найти его общее решение,
достаточно найти два линейно независимых
частных решения. Будем искать их в виде,
предложенном Л. Эйлером:
(2) с неизвестной
пока постоянной
.
Подставив (2) в уравнение (1), получим
.
Так как
,
то для выполнения равенства число
должно удовлетворять характеристическому
уравнению
.
(3) Рассмотрим все возможные варианты
корней
характеристического уравнения (3).
1) Корни действительные
и различные:
.
В этом случае функции
и
являются решениями уравнения (1) и линейно
независимы, т.к.
.
Поэтому общее решение
.
2) Корни действительные
и равные:
.
Функция
является решением уравнения (1). Легко
проверить (проверьте!), что в качестве
второго решения можно взять
,
причем
и
линейно независимы. Следовательно,
общее решение имеет вид
3) Корни комплексные
и сопряженные:
,
.
Легко проверить, что в этом случае
линейно независимыми решениями уравнения
(1) являются функции
и
(вещественная и мнимая части функции
),
поэтому общее решение
Метод линеаризации систем нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений: вывод уравнения возмущенного движения, теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению (без доказательства).
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
где
искомые функции, причем
Функции
предполагаются непрерывными по
и непрерывно дифференцируемыми по
,
что гарантирует однозначную разрешимость
задачи Коши.
Возьмем некоторое
вполне определенное решение
(2)
системы (1),
удовлетворяющее начальным условиям:
(3)
Решение (2) называется невозмущенным решением системы (1).
Вместе с (2) рассмотрим
другое решение системы (1):
(4)
отвечающее измененным
начальным условиям:
(5)
с небольшими по
абсолютной величине приращениями
.
Решение (4) называется возмущенным
решением, а числа
- возмущениями.
Возмущения в
начальный момент
порождают возмущения при
.
Разность
(6)
между возмущенным
и невозмущенным решениями называется
отклонением, или вариацией решения (4).
Если все отклонения равны нулю, т.е.
(7) при
,
то возмущенное решение совпадает с
невозмущенным.
Для вывода уравнений
возмущенного движения выразим из
равенства (6) функции
и подставим их в уравнение (1).
Получим
Разложим
правые части этих уравнений в ряд Тейлора
по степеням
:
где
- совокупность слагаемых, зависящих от
отклонений
в степени выше первой,
- значения производных при
Учитывая, что невозмущенное решение
(2) удовлетворяет системе (1), т.е.
получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:
(8)
В этих уравнениях
коэффициенты
в общем случае являются функциями
времени t.
В частности, они могут быть постоянными.
Если в (8) отбросить
нелинейные слагаемые
,
то получим уравнения первого приближения: 
(9)
Определение 1.
Решение
системы (2) называется устойчивым
по Ляпунову
при
(короче, устойчивым),
если для любого
существует
такое, что:
1) все решения
системы (1), удовлетворяющие условию
определены при
2) при
для этих решений справедливо неравенство
Решение, не являющееся устойчивым, называется неустойчивым.
Решение
системы (2) называется асимптотически
устойчивым при
,
если: 1) это решение устойчиво по Ляпунову;
2) для любого
существует такое число
,
что все решения
удовлетворяющие условию
обладают свойством
Сформулируем условия, при выполнении которых уравнения первого приближения дают верную картину устойчивости движения.
Пусть
(10)
- автономная
система, удовлетворяющая условиям
теоремы существования и единственности
решения на цилиндре
Пусть
(11)
- соответствующая
ей система уравнений первого приближения,
причем все коэффициенты
- постоянные числа.
Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению). Если вещественные части всех корней характеристического уравнения системы первого приближения (11) отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Теорема 2 (теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению). Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения (11) имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво.
Замечание: Если вещественные части всех или некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то для изучения характера устойчивости первого приближения недостаточно – необходимо рассматривать влияние нелинейных слагаемых.