Корни многочленов и их кратность. Основная теорема алгебры комплексных чисел и следствия из неё.
Корни многочленов и их кратность
Пусть K
– область целостности,
– многочлен с коэффициентами из кольца
K
(
)
.
Определение 1.
Значением
многочлена
в точке
называется такой элемент
,
который вычисляется по формуле:
.
Определение 2.
Элемент
называется корнем
многочлена
,
если значение многочлена
в точке c
равно нулю (
).
Теорема 1. Пусть
– многочлен с коэффициентами из кольца
K,
то есть
,
c
– элемент кольца K
(
),
тогда существует многочлен
и элемент
,
такие что выполняется равенство:
,
(1)
;
при этом если
– ненулевой многочлен, то
имеет степень на единицу меньше, чем
(ст.
h
= ст. f
– 1).
Замечание.
Запись многочлена в виде (1) означает,
что многочлен
разделён на двучлен
с остатком:
– частное от деления,
– остаток.
Теорема 2 (теорема Безу). Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
ст.h
= ст.f-1.
Доказательство. По теореме 1 можно представить в виде:
, где , ст.h = ст.f-1.
(
)
Пусть с – корень многочлена
,
тогда
.
По теореме
1
(
)
.
Подставим в это равенство вместо x
c
.
– корень многочлена
.
Определение 3.
Элемент
называется корнем
кратности k
многочлена
(k
≥ 1), если
Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени с коэффициентами из поля P имеет в поле P хотя бы один корень.
Определение 2.
Многочлен
ст.
>0
называется приводимым
над полем P,
если его можно представить в виде
произведения двух мно-ов
степени большей 0, но меньшей степени
многочлена
.
,
0 < ст.
< ст.
,
0 < ст.
< ст.
.
Определение 3. Многочлен ст. >0 называется неприводимым над полем P, если его нельзя представить в виде произвед. многочленов степени большей 0, но меньшей степени многочлена .
,
либо ст.
= 0, либо ст.
= 0.
Определение 4. Мно-ен с коэффициентами из поля P называется нормированным, если его старший коэффиц. равен 1.
Теорема 1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.
Теорема 2. Любой ненулевой многочлен положительной степени с коэффициентами из поля P можно представить в виде произведения его старшего коэффициента и неприводимых над полем P нормированных многочленов, и такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Теорема (основная
теорема алгебры). Любой
многочлен
,
степень которого больше нуля, имеет в
поле C
хотя бы один комплексный корень, т.е.
поле C
алгебраически замкнуто.
Следствие 1. Над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены первой степени.
Доказательство. По теореме 1 многочлены первой степени неприводимы над любым полем. Нужно доказать, что над полем С приводимы многочлены степени, большей 1.
Рассмотрим многочлен
,
ст.
>1.
По основной теореме алгебры
имеет хотя бы один комплексный корень,
обозначим его через
,
.
Тогда по теореме Безу
где
,
причём
ст.
=
ст.
-1
0 < ст.
< ст.
,
0 < ст.
= 1 < ст.
.
Согласно определению многочлен приводим над полем комплексных чисел.
Следствие 2. Пусть
,
ст.
>0,
тогда
(1)
– старший коэффициент
многочлена
,
–
корни многочлена
.
И такое представление однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.