22. Теорема Кронекера – Капелли.

Пусть дана система линейных уравнений:

(1)

– матрица системы (1),

– расширенная матрица системы (1),

Теорема (теорема Кронекера-Капелли или критерий совместности систем линейных уравнений). Чтобы система линейных уравнений (1) была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, т. е. .

Доказательство.

1. Пусть система (1) совместна, тогда такие что справедливы равенства

(2). Пусть . Рассмотрим – линейную оболочку системы из r базисных столбцов матрицы . По теореме о базисном миноре (базисный минор – любой отличный от нуля минор максимального порядка матрицы A) любой столбец линейно выражается через базисные столбцы, значит, любой столбец принадлежит , но из равенств (2) следует, что последний столбец матрицы – линейно выражается через столбцы матрицы с коэффициентами . Но так как любой столбец принадлежит , то и , тогда все столбцы линейно выражаются через r базисных столбцов . Значит столбцовые ранги матриц и равны, следовательно .

2. Пусть =r, тогда существует r базисных столбцов матрицы , а так как они принадлежат и матрице и снова являются базисными в , следовательно, любой столбец и линейно выражается через базисные столбцы.

Последний столбец не входит в базис, так как его нет в , но линейно выражается через базисные столбцы; значит, его можно линейно выразить и через все столбцы матрицы (все коэффициенты кроме коэффициентов при базисных столбцах могут быть равны нулю), тогда найдутся , такие что справедливо (2), следовательно, набор – решение системы (1), следовательно, система (1) совместна.

22. Элементарные преобразования систем линейных уравнений (слу) и равносильность слу.

Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1)

Определение 2. Матрицей размерности над числовым полем P называется всякая прямоугольная матрица вида:

,

имеющая m строк и n столбцов. Числовым полем P называем числовое множество, в котором выполнимы операции (кроме деления на 0).

Всякой системе (1) соответствует некоторая матрица, составленная из коэффициентов и кроме этой матрицы матрица B, которая называется расширенной матрицей системы:

Определение 3. Решением системы линейных уравнений (1) называется всякий упорядоченный набор из n чисел , который, будучи подставленный в систему вместо соответствующих неизвестных, обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

По количеству решений системы классифицируются следующим образом:

• система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение,

• система называется несовместной, если она не имеет решений,

• система называется определённой, если она имеет в точности одно решение,

• система называется неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений.

Определение 4. Две системы линейных уравнений с одинаковым количеством неизвестных называются равносильными (эквивалентными), если:

1. каждое решение первой системы является решением второй системы,

2. каждое решение второй системы является решением первой системы,

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие:

1. перестановка уравнений в системе местами,

2. умножение уравнения на число, отличное от нуля,

3. умножение уравнения на число и прибавление результата к другому уравнению,

4. отбрасывание уравнения, в котором все коэффициенты и свободный член равны 0.

Рассмотрим систему (2): (2)

Будем говорить, что система (2) получена из системы (1) путём

• перестановки i-ого и k-ого уравнения в системе (1) местами в случае первого элементарного преобразования;

• умножения i-ого уравнения системы (1) на число c, отличное от 0 в случае второго элементарного преобразования;

• умножения i-ого уравнения системы (1) на число c и прибавление результата к k-му уравнению в случае третьего элементарного преобразования;

• отбрасывания уравнения системы (1), в котором все коэффициенты и свободный член равны 0 в случае четвёртого элементарного преобразования.

Теорема 1. Элементарные преобразования переводят систему в равносильную ей систему.

Доказательство.

Достаточно доказать эквивалентность системы (1) и системы (2), полученной из (1) путём применения элементарного преобразования.

Заметим также, что система (1) получается из системы (2) также в результате применения элементарного преобразования, так как эти преобразования обратимы. Другими словами, в случае первого элементарного преобразования, переставив еще один раз в системе (2) местами уравнения с номерами i и k, вернёмся к системе (1); в случае третьего элементарного преобразования, прибавив к k-му уравнению в (2) i-тое уравнение, умноженное на (-с), получим k-тое уравнение системы (1).

Докажем теперь, что любое решение системы (1) является решением системы (2). Если произведено элементарное преобразование 1, то сами уравнения вообще не изменились(изменился только порядок их записи). Поэтому числа , удовлетворявшие им ранее, будут удовлетворять им и после преобразования. В случае элементарного преобразования 3 уравнения, кроме k-того не изменились, поэтому решение им по-прежнему удовлетворяет. Что касается k-го уравнения, то оно приобрело следующий вид:

(3)

Так как наше решение удовлетворяет i-му и k-му уравнениям системы (1), то

Умножив обе части последнего тождества на c и прибавив его к первому, мы получим, группируя члены, тождество вида (3) с .

В силу отмеченной выше обратимости элементарных преобразований проведённое рассуждение показывает также, что, обратно, любое решение системы (2) будет решением системы (1).