22. Ранг матрицы, его свойства и способы вычисления ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу размерности с элементами из поля :

Строки этой матрицы - мерные числовые векторы из векторного пространства : Столбцы данной матрицы также можно рассматривать как векторы.

Определение 1. Рангом матрицы называется ранг её системы строк, если строки рассматривать как n-мерные числовые векторы (строковый ранг матрицы).

Столбцовый ранг матрицы – это ранг её системы столбцов, если столбцы рассматривать как векторы.

Теорема 1. Элементарные преобразования строк не изменяют ранг матрицы (элементарные преобразования столбцов не изменяют ранг матрицы).

Теорема 2. Ранг нулевой матрицы равен нулю. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований можно привести к матрице ступенчатого вида, при этом ранг исходной матрицы равен числу строк в полученной матрице ступенчатого вида.

Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчатому виду и считаем число строк полученной матрицы. Оно равно рангу данной матрицы.

Теорема 3 (о ранге матрицы). Ранг ненулевой матрицы равен максимальному порядку отличных от нуля миноров данной матрицы.

Доказательство. Пусть , тогда у этой матрицы есть ненулевые миноры и среди ненулевых миноров есть миноры наибольшего порядка. Обозначим через r наибольший порядок ненулевых миноров. Можно считать, что ненулевой минор r порядка находится в верхнем левом углу матрицы A. В противном случае можно переставить строки и столбцы матрицы местами, не изменяя ранга матрицы. Матрица A имеет следующий вид:

Пусть – строки матрицы A. Надо доказать, что первые r строк матрицы A образуют базис системы строк матрицы A. Для этого надо доказать:

1. Первые r строк матрицы A линейно независимы;

2. Любая другая строка матрицы A – линейная комбинация первых r строк.

Доказательство. 1) Допустим противное, что первые r строк матрицы A линейно зависимы. Используем теорему: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы – линейная комбинация остальных векторов системы . Согласно данной теореме какая-нибудь из строк – линейная комбинация остальных строк. Тогда в миноре M какая-нибудь из строк линейно выражается через остальные строки минора, тогда минор M по свойствам определителя равен нулю. Получили противоречие, значит наше предположение неверно, и первые r строк матрицы A линейно независимы.

2) Покажем, что k-тая строка – линейная комбинация первых r строк. Рассмотрим определитель r+1 порядка следующего вида:

Если , то этот определитель имеет два одинаковых столбца, и он равен нулю. Если же , то данный определитель – минор r+1 порядка матрицы A, и он равен нулю. Разложим этот определитель по элементам последнего столбца:

(1) Алгебраические дополнения не зависят от элементов r+1 столбца указанного определителя. Они зависят лишь от первых r строк матрицы A и при данном k они являются постоянными числами (не зависят от s). Обозначим через . Перепишем (1) в виде:

. Выразим из этого равенства: (2). Равенство (2) означает, что координаты вектора линейно выражаются через , причём с одними и теми же коэффициентами. Тогда – линейная комбинация векторов . Векторы образуют базис системы строк. Отсюда . При транспонировании определитель не меняется. Столбцы матрицы A становятся строками полученной матрицы. Столбцовый ранг матрицы A равен рангу транспонированной матрицы A: , а равен наивысшему порядку неравных нулю миноров матрицы , но миноры совпадают с минорами самой матрицы, тогда получаем, что столбцовый ранг матрицы равен строковому рангу матрицы.

Следствие1. Строковый ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Следствие 2. Определитель равен 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из строк этого определителя является линейной комбинацией других строк определителя.

Следствие 3. Определитель n-го порядка (n ≥ 2) равен нулю тогда и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы.

Определение. Пусть M – минор k-го порядка матрицы A: . Минор порядка матрицы A называется окаймляющим минором для минора M, если все элементы минора M содержатся среди элементов минора .

Замечание. Из доказательства теоремы о ранге матрицы следует, что если в матрице A имеется минор r-порядка, не равный 0, а все окаймляющие миноры либо равны нулю, либо их не существует, то .

На этом основан способ вычисления ранга матрицы методом окаймляющих миноров:

1. Выберем в матрице A элемент, отличный от нуля. Это минор первого порядка (если все элементы матрицы равны 0, то ранг матрицы равен 0) ;

2. Рассмотрим все окаймляющие миноры второго порядка для выбранного ненулевого минора первого порядка. Если все окаймляющие миноры второго порядка равны 0, то ранг матрицы равен 1. Если найдём окаймляющий минор второго порядка, не равный 0, то переходим к следующему шагу.

3. Рассмотрим все окаймляющие миноры третьего порядка для выбранного ненулевого минора второго порядка. Если все окаймляющие миноры второго порядка равны 0 или их не существует, то ранг матрицы равен 2. Если найдём окаймляющий минор 3 порядка, не равный 0, то переходим к следующему шагу и т. д.