22. Линейные пространства. Базис. Размерность

Определение1. Непустое множество V элементов вида называется векторным или линейным пространством над Р, если 1. на множестве V определена бинарная алгебраическая операция сложения, которая любой паре элементов ставит в соответствие единственный третий элемент ; 2. определена операция умножения элемента поля Р на элемент множества V, которая каждому и для любого ставит в соответствие единственный ;

3.справедливы следующие аксиомы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) ,

Примеры 1)множество матриц является векторным пространством над Р

2)множество всех n-мерных числовых векторов с элементами из Р образуют векторное пространство над Р

Элементы векторного пространства называются векторами.

Свойства векторного пространства

1)

2)

3) разрешимо, имеет единственное решение, которое находится по формуле

Определение. Разностью векторов называется такой вектор , обозначаемый , который обладает свойством

Следствие. разность и находится по формуле

4)

5)

6) свойство сократимости

7)

8)

9) если

10) правило знаков

(1) (2)

(3)

11)    ,

Определение1. Векторное пространство V над произвольным полем Р называется конечномерным векторным пространством, если во множестве V существует такая конечная система векторов (1)

что каждый вектор из V является линейной комбинацией векторов системы (1).

Система (1) называется система, образующая векторное пространство V.

Замечание. Из определение1 если (1) система, образующая векторное пространство V, то V есть линейная оболочка системы векторов

Определение2. Базисом конечномерного векторного пространства V называется такая упорядоченная система векторов (2)

векторного пространства V, которая обладает свойствами:

1. система (2) линейно независима

2. каждый вектор из V является линейной комбинацией векторов системы (2).

Определение3. Система векторов (2) называется линейно зависимой, если в поле Р существуют числа , не равные одновременно нулю и такие, что . (3)

В противном случае (когда таких чисел не существует) система (2) называется линейно независимой. Другими словами, система (2) называется линейно независимой, если из равенства (3) следуют равенства: .

Определение4. Если (4)

являются элементами поля Р, то вектор (5)

является линейной комбинацией векторов (2), а числа (4)-коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение5. Число векторов базиса конечномерного векторного пространства V называется размерностью векторного пространства V.

Определение6. Векторное пространство, в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется n-мерным. Нулевое векторное пространство называется нульмерным. Если пространство V n-мерно, то число n называют размерностью пространства V и пишут n=dim V.

Теорема (о базисах)

Пусть V конечномерное векторное пространство, тогда справедливы утверждения

1. пространство V обладает базисом

2. любые два базиса V содержат одно и тоже число векторов (размерность векторного пространства не зависит от выбора базиса)

3. любую линейно независимую подсистему векторов из V можно дополнить до базиса векторного пространства

4. если n размерность V, то любые n линейно независимые вектора образуют базис векторного пространства V

5. любой вектор линейно выражается через векторы базиса векторного пространства V