22. Операции над матрицами и их свойства.

Определение2. матрицей над числовым полем р наз-ся всякая прямоугольная таблица вида: ,в которой строк, столбцов, все элементы ее (все операции умножения, сложения, деления, вычитания - наз-ся числовым полем), -номер строки, - номер столбца, в котором находится элемент, -размер матрицы.

Определение1. Две матрицы наз-ся равными тогда и только тогда, когда каждый элемент первой матрицы равен соответствующему элементу второй матрицы.A=B

Определение2. Пусть даны матрицы

и матрица

сумма матрицы A и B обозначается A+B и равна

Из определение2 следует, что складывать можно только матрицы одного размера.

Теорема 1. Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. эта операция коммутативна A+B=B+A

2. операция сложения матриц ассоциативна A+(B+C)=(A+B)+C

3. существует матрица O, состоящая из одних нулей такая что O+A=A+O=A

4. для любой матрицы A найдется другая матрица –A, их сумма равна:A+(-A)=O

5. сумма любых матриц над числовым полем существует единственным и является матрицей над тем же полем.

Определение3.Пусть A произвольная матрица на числовом поле p, (число c из того же p),то произведение матрицы на число:

Теорема 2.Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

матрица над числовым полем p

для любых чисел , для любых матриц A,B

1)

2)

3)

4) 1A=A 0A=O

Возьмем две матрицы над числовым полем p

Определение4.Произведение матриц A и B в указанном порядке наз-ся матрица, обозначаемая AB, каждый элемент в которой равен сумме произведений элементов -строки матрицы A на соответствующий элемент -столбца матрицы B . Матрица AB содержит столько строк, сколько матрица A и столько столбцов, сколько матрица B, размер этой матрицы .

Определение5. Матрица A наз-ся квадратной, если кол-во строк матрицы равно кол-ву столбцов матрицы.

Если кол-во равно -это матрица n-го порядка.

Теорема 3.Свойства операций умножения

1) (даже если обе матрицы существуют)

2) если произведение AB и BC существует, то выполняется равенство

3)если матрицы A+B и AC существуют, то ( ;

если матрицы A+B и CA существуют, то

4)

5)

Определение6. Пусть А квадратная матрица

матрицей транспонированной по отношению к А называется матрица, обозначаемая , у которой каждая строка матрицы А является столбцом с тем же самым номером

при транспонировании матрица не меняется.

Теорема 4

1)

2)

3)

22. Определители, их свойства и вычисление.

Определение1. матрицей над числовым полем р наз-ся всякая прямоугольная таблица вида:

,в которой строк, столбцов, все элементы ее (все операции умножения, сложения, деления, вычитания - наз-ся числовым полем) -номер строки, - номер столбца, в котором находится элемент, -размер матрицы. Всякой системе(1) соот-ет некоторая матрица B, состав-ная из коэф-ов: - расширенная матрица системы A. Из элементов матрицы A составим произведение, удовлетворяющее следующим условиям: 1) в каждом произведении ровно n сомножителей; 2) в произведении есть один и только один элемент из каждой строки матрицы A; 3) в произведении есть ровно один элемент из каждого столбца матрицы A; Произведение запишем в общем виде, чтобы первые индексы у элементов шли в порядке возрастания (1)

Среди первых чисел индексов есть все числа 1,2…n и они идут в порядке возрастания т.к. в произведении есть в точности по одному элементу из каждого столбца матрицы, то среди вторых индексов есть все числа от 1 до n и встречаются они тоже в точности по одному разу. Выпишем эти наборы индексов в таблицу

(2) наз-ся подстановка n-й степени

Определение1.Говорят, что 2 числа и образуют инверсию подстановки если и стоит впереди .

Припишем к произведению (1) знак , где t-кол-во инверсий в подстановке (2).Можно подсчитать, что кол-во таких произведений будет

Определение2.Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма, произведений вида (1), взятой со знаком , где t-кол-во инверсий в подстановке (2).

Определителем матрицы n-го порядка называется определитель матрицы n-го порядка, и обозначают

Пусть определителем n-го порядка . Пусть k-какое-то число

Мысленно вычеркнем в определителе какие-нибудь k строк и k столбцов. Из элементов оказавшихся на пересечении этих k строк и k столбцов, составим новый определитель k-го порядка, сохраняя взаимное расположение таким же, как в . Этот определитель называется минором k-го порядка определителя .

Пусть М-минор k-го порядка определителя вычеркиванием каких-то k строк и k столбцов. После того, как эти строки и столбцы вычеркнуты, в определителе осталось еще n-k строк и n-k столбцов. Из элементов, оставшихся не вычеркнутыми, составим определитель порядка n-k, сохраняя взаимное расположение элементов таких же как . Этот определитель называется дополнительным минором минора М и обозначается .

Пусть М-минор k-го порядка определителя , полученный вычеркиванием строк с номерами и столбцов с номерами . Алгебраическим дополнением минора М наз-ся его дополнительный минор , взятый со знаком .

Если минор 1-го порядка

Теорема1. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов произвольной строки на соответствующие ему алгебраические дополнения.

.

Лемма. Пусть произвольный элемент определителя , -его алгебраическое дополнение, тогда произ-ние есть сумма (n-1)! различных членов определителя с тем же самым знаком, что и в .

Определение3.Пусть А квадратная матрица

матрицей транспонированной по отношению к А называется матрица, обозначаемая , у которой каждая строка матрицы А является столбцом с тем же самым номером

Теорема2. Определитель матрицы равен определителю матрицы транспонированной по отношению к А

Док-во:

Т.к. при транспонировании строки матрицы А становятся столбцами матрицы , а столбцы матрицы А становятся строками матрицы , то каждый член определителя А является членом определителя и наоборот, каждый определитель является членом определителя А. В эти определители они входят с одинаковыми знаками, т.к. знак определяется подстановкой в первой строке, в которой выписаны все первые индексы сомножителя, а во второй вторые, если мы поменяем строки со столбцами при транспонировании, в подстановке строки поменяются местами, кол-во инверсий в ней не изменится. Ч.т.д.

Следствие из теоремы2. Каждое утверждение справедливо для строк определителя, справедливо и для столбцов.

Теорема3.Если поменять местами две строки определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

Теорема4. Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.

Док-во:

Пусть в определителе две одинаковые строки, поменяем их местами, тогда знак определителя изменится на противоположный. С другой стороны, т.к. строки одинаковые, то определитель не изменился, получили что , , . Ч.т.д.

Теорема5. Если в определителе все элементы какой-либо строки равны нулю, то определитель равен нулю.

Док-во:

Определитель есть сумма произведений, в каждом из которых имеется в точности по одному элементу из каждой строки, значит, в каждом таком произведении есть элемент из нулевой строки, поэтому каждое произведение равно нулю, то и сумма равна нулю.

Теорема6. Если все элементы строки определителя умножить на к, то и сам определитель умножить на число к.

Теорема7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Теорема8. Пусть в определителе n-го порядка каждый элемент некоторой строки есть сумма двух элементов, тогда данный определитель равен сумме двух определителей. У них все строки, кроме указанной, те же что и в , а эта строка

Теорема9.