Понятие о матричных играх со смешанным расширением

Исследование в матричных играх начинается с нахождения её чистой цены. Если матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, то нахождением чистой цены заканчивается исследование игры. Если же в игре нет решения в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Смешанной стратегией игрока называется полный набор чистых стратегий, применённых в соответствии с установленным распределением вероятностей. Матричная игра, решаемая с использованием смешанных стратегий, называется игрой со смешанным расширением.

Стратегии, применённые с вероятностью, отличной от нуля, называются активными стратегиями.

Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:

V_н  V  V_в .

При этом условии величина V называется ценой игры.

Решение матричных игр со смешанным расширением методами линейного программирования

Решение матричной игры со смешанным расширением – это определение оптимальных смешанных стратегий, то есть нахождение таких значений вероятностей выбора чистых стратегий для обоих игроков, при которых они достигают наибольшего выигрыша.

Для матричной игры, платёжная матрица которой показана на рис. 1.1, V_н  V_в , определим такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока 1 (p₁, p₂ ,…, p_m) и для игрока 2 (q₁, q₂ ,…, q_n), при которых игроки достигали бы своего максимально гарантированного выигрыша.

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то, по условию задачи, его выигрыш не может быть меньше цены игры V. Поэтому данная задача может быть представлена для игроков в виде следующих систем линейных неравенств:

Для первого игрока: Для второго игрока:

Чтобы определить значение V, разделим обе части каждого из уравнений на V. Величину p_i/V обозначим через x_i, а q_j/V – через y_j.

Целевая функция задачи (для 1) будет иметь следующий вид: min Z = min 1/V = min (x₁ + x₂ + … + x_m)

Целевая функция задачи (для 2) будет иметь следующий вид: max Z = max 1/V = max (y₁ + y₂ + … + y_n)

Необходимо, чтобы все коэффициенты матрицы были неотрицательными. Этого можно добиться, прибавив перед началом решения задачи к каждому коэффициенту матрицы число K, соответствующее модулю наименьшего отрицательного коэффициента матрицы. Тогда в ходе решения задачи будет определена не цена игры, а величина V* = V + K. Для решения задач линейного программирования используется симплекс-метод.

В результате решения определяются значения целевых функций (для обоих игроков эти значения совпадают), а также значения переменных x_i и y_j .

Величина V* определяется по формуле: V* = 1/z

Для определения цены игры V из величины V* необходимо вычесть число K.

22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (слу).

Определение1.Система m лин-ных ур-ний с n-неизвестными наз-ся система вида:

(1) -коэф-ты сист. (1), -номер ур-ния, -номер неиз-го, -свобод. чл. сист. (1), -неиз-ные.

Определение2. матрицей над числовым полем р наз-ся всякая прямоугольная таблица вида:

,в которой строк, столбцов, все элементы ее (все операции умножения, сложения, деления, вычитания - наз-ся числовым полем) -номер строки, - номер столбца, в котором находится элемент, -размер матрицы. Всякой системе(1) соот-ет некоторая матрица B, состав-ная из коэф-ов:

- расширенная матрица системы A.

Определение3.Решением системы лин-ных урав.(1) наз-ся всякий упорядоченный набор из n чисел , который, будучи подставлен в систему вместо соответствующих неиз-ных, обращает каждое уравнение в верное числовое равенство. Системы по кол-ву решений квалиф-ся следующим образом: система наз-ся совместной, если она имеет хотя бы одно решение; несовместной, если она не имеет решений; определенной, если она имеет в точности одно решение; неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

Определение4.Две системы лин-ных урав-ний с одинаковым кол-вом неиз-ных наз-ся равносильными, если решение одной системы является решением другой.

Определение5.Элементарными преобразованиями систем лин-ных урав-ний наз-ся следующие: 1) умножение урав-я на число; 2) умножение урав-я на число и прибавление результата к другому урав-ю.

Теорема1.Элементарные преобразования переводят систему в равносильную ей систему.

Определение6.Элементарными преобразованиями матрицы наз-ся следующие:

1. умножение строки матрицы на число; 2) умножение строки матрицы на число и прибавление результата к другой строке

Определение7.Матрица наз-ся матрицей ступенчатого вида, если она обладает 2 св-ми:

1. в ней нет нулевых строк

2. первый элемент в каждой строке матрицы, начиная со второй, стоит правее, чем в предыдущей строке

Теорема2. Любая не нулевая матрица может быть приведена к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Док-во: Раз матрица A не нулевая, то в ней есть хотя бы один не нулевой столбец. Пусть -номер первого не нулевого столбца. Переставляя строки матрицы, добьемся того, чтобы не нулевой элемент в этом столбце оказался в первой строке. из второй строки матрицы вычтем первую, умноженную на число из 3-й строки вычтем первую, умноженную на число и так далее . Из матрицы получится след-я матрица берем строки начиная со 2-й, чтобы получить ступенчатую матрицу. Рассмотрим строки матрицы начиная со 2-й, первый столбец отличен от нуля, пусть это будет столбец с номером . Переставляя строки с номерами 2,3 и т.д. добьемся того, чтобы в столбце элемент столбца оказался в строке с номером , затем используя преобразование 3, аналогичное предыдущему, получим нули в столбце везде ниже второй строки и т.д. Этот процесс конечен, т.к. число строк и столбцов матрицы конечное число, наконец, отбросим все нулевые строки матрицы и в результате получим матрицу ступенчатого вида. Ч.т.д.

Пусть дана система лин-ных урав-ний(1), выпишем расширенную матрицу этой системы, матрицу B.Согласно теореме 2 ее можно привести к ступенчатому виду . Этой матрице соответствует система лин-ных урав-ний , у этой системы есть расширенная матрица с коэф-ми матрицы .

Теорема3.Если в матрице последняя строка нулевая, то система (а значит и S) несовместна.

Док-во: . Матрица имеет ступенчатый вид, по определению в ней нет нулевых строк, в частности последняя строка не нулевая, а тогда в ней есть элемент и этот элемент решение не имеет, и система решений не имеет. Ч.т.д.

Теорема4.Если в последняя строка не нулевая и кол-во неизвестных равно кол-ву уравнений системы , то система имеет единственное решение.

Док-во:

. Выпишем системы уравнений:

. Из последнего уравнения найдем : . Подставим это значение в предыдущее уравнение и найдем из него и т.д., выполнив это действие несколько раз, вычислим значения всех неизвестных, при этом для каждого неизвестного получится в точности одно известное. Система имеет решение и только одно. Ч.т.д.

Теорема5. Если в последняя строка не нулевая и число неизвестных больше кол-ва уравнений в системе , то система имеет бесконечно много решений.

Док-во: Выделим те неизвестные, при которых коэф-ты яв-ся первыми отличными от нуля эл-ми в строках матрицы. Все остальные неизвестные назовем свободными и перенесем их в правую часть системы с противоположным знаком, придадим свободным неизвестным произвольные значения. В результате получим систему, о которой сказано в теореме4, и по ней она имеет ед-ное решение. Если свободным неизвестным придать другие значения, то получим другое решение системы. Поскольку значения свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом способов, то система имеет бесконечно много решений. Ч.т.д.