22. Численные методы решения решения систем линейны уравнений: метод простой итерации.

Рассмотри метрическое пространство . Определим отображение

( Метрическое пространство называется полным если в нем сходится любая фундаментальная последовательность)

О1. Отображение называется сжимающим, если существует такое , что

О2. Точка пр-ва называется неподвижной точкой, если .

Теорема Банаха. Если - сжимающее отображение, то для него существует единственная неподвижная точка , т.е. . Причем эта точка является пределом итерационной последовательности

В мат­рич­ном виде имеем Х = В + AХ

– систему линейных уравнений. Любую другую систему можно свести к подобной добавлением к каждому уравнению слева и справа поочереди . Пусть F(X) = В + AХ

Тогда строим итерационную последовательность и из принципа сжимающих отображений придем к неподвижной:

, где и будет искомое решение системы..

Теперь, требуем от функции , чтобы она задавала сжимающее отображение.

Для этого удобно систему “погрузить” в пространство с одной из трех метрик:

1. 2. 3.

Эти условия выражаются через коэффициенты системы.

1. Рассмотрим первую метрику .

Напомним, что отображение называется сжимающим, если существует такое , что

Тогда в соответствии с введенной метрикой и вспоминая, что имеем .

По свойству абсолютной величины имеем:

Это неравенство лишь усилится, если заменить значением .

Тогда имеем

Окончательное выражение

Смотрим на последнее выражение: используя определение сжимающего отображения получим, что множитель должен быть <1.

2. Для второй метрики получаем условие

3.Для третьей метрики получаем условие

22. Численные методы решения задачи Коши.

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по дан­но­му соотношению между неизвестной функцией, ее про­из­вод­ными и независимыми переменными. Такое со­от­но­ше­ние называется дифференциальным урав­не­ни­ем, а отыс­ка­ние функции, удовлетворяющей урав­не­нию, называется ре­шением или интегрированием дан­но­го уравнения.

Простейшее дифференциальное урав­не­н­ие первого по­ряд­ка имеет семейство решений ,

С заданными начальными условиями получаем задачу Коши.

Для двумерного случая задача Коши фо­р­му­ли­ру­ется так: если f(х,у) непрерывна в некоторой об­лас­ти R,п­ределенной как |х - х₀| < а; |у - у₀| < b, то существует, по крайней мере, одно решение у = у (х, t), определенное в ок­рестности |х - х₀| < h, где h > 0, и это решение будет единственным, если вы­пол­няется условие Липшица

|f(х,) - f(х,у)| < N ^. | у|,

где N - некоторая константа Липшица, зависящая в об­щем случае от а и b.

Численное решение задачи состоит в по­стро­е­нии таб­ли­­цы приближенных значений у₁, у₂, ..., у_n, яв­ля­ю­щих­ся ре­ше­­ниями уравнения у = у(х) в то­чках х₁, х₂, ..., х_n. Чаще все­го точки х_i рас­по­ло­же­ны равномерно: х_i = х₀ + h^.i, где i = =1, 2, ..., n. Точ­ки х_i называют узлами сетки, h - шагом сет­­­ки. Ясно, что h > 0.Основные методы: Метод Пикара, Метод Эйлера, Метод Рунге-Кутта, Метод Адамса….

Метод Эйлера

Для получения решения задачи Коши вос­поль­зуемся раз­­ложением функции в ряд Тейлора в точке :

Ограничимся двумя членами до второй производной включительно.

, - нам известны изначально.

Продифференцируем обе части равенства .

Положив в разложении Тейлора и используя равенство выше получим

Или итерационно:

Первые два слагаемых составляют непосредственно формулу, слагаемое второго порядка задает поправку и может быть отброшено.

Метод Рунге-Кутта.

Неудобство метода Эйлера заключается в том, что требуется вычисление производных первого и второго порядков, что в компьютерной реализации неудобно. Метод Рунге-Кутта использует в формулах лишь саму функцию.

Из разложения в ряд Тейлора до первого порядка включительно выразим . Видно что первая производная апроксимируется значениями функции в двух точках. Раз для аппроксимации проиводной взяты две точки, а , то лучшей аппроксимацией правой части будет полусумма . Тогда для нахождения

Или если ввести новые обозначения, то

Описанная выше формула действительно справедлива, т.е. согласуется с разложением функции до второго порядка включительно. Для этого разложим величину в ряд Тейлора вплоть до членов первого порядка по . Получим

Подставим полученное выражение в . Получим

Видим, что полученное выражение согласуется с формулой Эйлера вплоть до второго порядка по .

Можно найти и другие варианты метода Рунге-Кутта более высокого порядка. Искать будем в виде

Для четвертого порядка получим формулы

Погрешность метода Рунге-Кутта оценить очень сложно. Чаще используют приближение с вдвое меньшим шагом.