1. Локальный экстремум функции двух переменных: общие понятия, необходимое и достаточное условия экстремума.

Пусть функция , и - внутренняя точка множества .

Определение 1. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (локальный минимум), если существует такая окрестность точки , в которой при выполняется неравенство ( ). Точки локальных максимумов и локальных минимумов называются точками локальных экстремумов или экстремальными точками.

Точки, в которых функция дифференцируема и , называются стационарными точками функции .

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если в точке локального экстремума функция дифференцируема, то - стационарная точка этой функции.

Доказательство. Пусть, для определенности, - точка локального максимума функции . Тогда в каждой точке из некоторой окрестности U точки справедливо неравенство . (1)

Рассмотрим все точки окрестности U, для которых . Неравенство (1) для этих точек примет вид , откуда следует, что дифференцируемая функция одной переменной имеет максимум при . Из необходимого условия экстремума дифференцируемых функций одной переменной .

(Пояснение: Необходимое условие экстремума дифференцируемых функций одной переменной:

Пусть - дифференцируемая на промежутке функция. Для того, чтобы во внутренней точке функция имела экстремум, необходимо, чтобы ) Поэтому .

Аналогичные рассуждения с другими аргументами приводят к равенствам . Теорема доказана.

Замечание 1. Необходимое условие экстремума можно сформулировать в эквивалентном виде: .

При отыскании достаточных условий экстремумов ограничимся случаем функций двух переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция дифференцируема в окрестности своей стационарной точки и имеет непрерывные вторые производные в самой точке . Обозначим , , . Тогда:

1) если , функция имеет в точке локальный максимум при и локальный минимум при ;

2) если , функция в точке не имеет экстремума.

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора

(Пояснение: Теорема1. Если функция дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности точки , то для любой точки из этой окрестности справедливо равенство

в котором - точка, лежащая на отрезке

Формула (*) называется формулой Тейлора для функции с центром разложения в точке . ).

Учитывая, что в стационарной точке , запишем

,

где - бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с . Выясним знак второго дифференциала на различных лучах (рис1). Пусть луч определен равенством . Тогда . Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то при любых k значения этого трехчлена имеют знак старшего коэффициента A. Поэтому, если A>0, то , если A<0, то .

Если >0, трехчлен может принимать как положительные, так и отрицательные значения при различных k, знак разности зависит от выбора луча и точка не является экстремальной. Теорема доказана.

Замечание. В условии 1 теоремы неравенства A>0, A<0 можно заменить неравенствами C>0, С<0.