Практичні завдання

Практичне заняття №1

Тема: Дії над векторами.

І. Питання для контролю:

1. Означення вектора.

2. Перелічіть види векторів.

3. Які вектори називають колінеарними, компланарними.

4. Рівні вектори.

5. Сформулюйте правило «трикутника» для додавання і віднімання векторів.

6. Сформулюйте правило «паралелограма» для додавання і віднімання векторів.

7. Правило «багатокутника».

8. Добуток вектора на дійсне число, геометрична інтерпретація.

ІІ. Завдання корекції знань:

1. Точки лежать на одній прямій, причому точка - між точками , точка - між . Які з векторів являються сонаправленими, а які протилежно направленими?

2. - правильний шестикутник. . Виразіть через них вектори .

3. Використовуючи паралелограм, доведіть рівність а) ;

б) .

4. Дано точки А(3; —1; 2) і В(— 1; 2; 1).Знайти координати векторов і .

5. Визначити початок вектору = {2; —3; —1}, якщо його кінець співпадає з точкою (1; —1; 2).

6. Обчислити направляючі косинуси вектора ={12; —15; —16}.

7. За даними векторами и побудувати кожний з наступних векторів: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. а) Дані: | | = 13, | | = 19 і | | = 24. Обчислити | |.

б) Дано: | | = 11, | | = 23 і | | = 30. Визначити | |.

9. За даними векторами и побудувати кожний з наступних векторів: 1) 3 ; 2) — ; 3) 2 + ; 4) — 3 .

ІІІ. Завдання для самостійного розв’язання

1. У паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' задані вектори, співпадаючі з його ребрами: , и . Побудувати кожний з наступних векторів: 1) m + n + р; 2) m + n + 1/2р; 3) 1/2m —1/2 n +р; 4) m + n - р; 5) —m —n +1/2 р.

2. Перевірити, що чотири точки А (3; —1; 2), В(1; 2; —1), С(—1; 1; —3), D (3; —5; 3) являються вершинами трапеції.

Практичне заняття №2

Тема: Лінійна залежність векторів.

І. Питання для контролю:

1. Що називають лінійною комбінацією векторів?

2. Яку комбінацію називають нульовою?

3. Яку – тривіальною?

4. Лінійно не залежна система векторів (навести приклад).

5. Лінійно залежна система векторів (приклад).

6. Наслідки з лінійної залежності векторів.

7. Критерій лінійної залежності векторів.

8. Означення базису простору.

9. Алгоритм перевірки систему векторів на лінійну залежність.

ІІ. Завдання корекції знань:

1. Чи являються лінійно залежними вектори .

2. На площині задані три вектори . Показати, що вектори лінійно не залежні і виразити через них вектор .

3. Чи утворює трійка векторів базис в просторі , якщо

а) , б) .

4. Якщо вектори утворюють базис в просторі , то виразити в виді їх лінійної комбінації вектор , якщо .

IV. Завдання для самостійного розв’язання:

1. Чи утворює трійка векторів базис в просторі , якщо .

2. Якщо вектори утворюють базис в просторі , то виразити в виді їх лінійної комбінації вектор , якщо .

Практичне заняття № 3

Тема: Афінна система координат. Прямокутна Декартова система координат. Полярна система координат.

І. Питання для контролю:

1. Що називають віссю?

2. Означення афінного реперу.

3. Яку систему координат називають афінною?

4. Афінний простір.

5. Як вводиться в просторі ПДСК?

6. Як називаються вісі ПДСК?.

7. Яким репером задається ПДСК?

8. Що називають координатою точки (геометричний зміст координат точки)?

9. Як обчислити координати вектора, якщо відомі координати його кінців?

10. Як обчислити довжину вектора?

11. Завдання полярної системи координат.

12. Перехід від координат ПДСК до полярних і навпаки.

ІІ. Самостійна аудиторна робота:

1. Обчислити довжину вектора , ( ).

2. Запишіть точки в ПДСК , ( ).

ІІІ. Завдання корекції знань:

1. Зобразити в ПДСК точки А(1,3,4), В(0,2,-4) і С(2,7,3). З’єднати їх і утворити трикутник. Обчислити довжини сторін і периметр трикутника. Чи являється заданий трикутник рівнобедреним?

2. Записати радіус – вектори точок А(4,-2,-4), В(-4,12,6), С(12,-4,3).

3. Довести, що трикутник АВС рівнобедрений, якщо його вершини т. А(3,-1,2),

т. В(0,-4,2), т. С(-3,2,1).

4. Побудувати точки в полярній системі координат , ,

5. Записати координати ПДСК точок , . ,

.

6. Записати полярні координати , які задані в ПДСК А(3,-4), В(-1,1), С(0,2), К(5,0).

7. Зобразити криву (спіраль Архімеда).

IV. Завдання для самостійного розв’язання:

1. Зобразити в ПДСК точки А(1,6,7), В(2,4,-6) і С(1,1,5). З’єднати їх і утворити трикутник. Обчислити довжини сторін і периметр трикутника.

2. Записати координати ПДСК точок .

3. Записати полярні координати , які задані в ПДСК А(2,1), В(-1,7), С(3,8), К(-1,-4).

Практичне заняття №4

Тема: Скалярний і векторний добутки векторів.

І. Питання для контролю: 1. Що називають скалярним добутком двох векторів? 2. Перелічіть алгебраїчні властивості скалярного добутку двох векторів. 3. Перелічіть геометричні властивості скалярного добутку двох векторів. 4. Як обчислити скалярний добуток векторів, заданих координатно? 5. Які геометричні задачі можна розв’язувати, використовуючи скалярний добуток векторів? 6. Що називають векторним добутком двох векторів? 7. Перелічіть алгебраїчні властивості векторного добутку двох векторів. 8. Перелічіть геометричні властивості векторного добутку двох векторів. 9. Як обчислити векторний добуток векторів, заданих координатно? 10. Які геометричні задачі можна розв’язувати, використовуючи векторний добуток векторів

ІІ. Завдання корекції знань:

1. Дані вершини чотирикутника А (1; — 2; 2), В(1; 4; 0), С(—4; 1; 1) і D(—5; —5; 3). Довести, що його діагоналі АС і ВD взаємно перпендикулярні.

2. З’ясувати, при якому значенні векторы = — 3 + 2 і = + 2 — взаємно перпендикулярні.

3. Обчисліть конус кута, утвореного векторами = {2; —4; 4} і = { — 3; 2; 6}.

4. Дано вершини трикутника: А(—1; —2; 4), В(—4; —2; 0) і С(3; —2; 1). З’ясувати його внутрішній кут при вершині В.

5. Вектори і утворюють кут ; знаючи, що | | = 3, | | = 4, обчисліть: 1) ; 2) ²; 3) ²; 4) ( )²; 5) ( ) ( ); 6) ( )²; 7) ( )².

6. Обчислити, яку роботу виконує сила f = {3; —5; 2}, коли її точка прикладення переміщається з початку в кінець вектора (2; —5; —7)*).

*) Якщо вектор зображує силу, точка прикладення якої переміщується з початку в кінець вектору s, то робота та цієї сили визначається рівністю

7. Діна точки А(1; 2; 0), В(3; 0; — 3) і С(5; 2; 6). Обчисліть площу трикутника ABC.

8. Дані вершини трикутника А(1; —1; 2), В(5; —6; 2) і С(1; 3; —1). Обчисліть довжину його висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Практичне заняття №5

Тема: Мішаний добуток векторів.

І. Питання для контролю: 1. Що називають мішаним добутком трьох векторів? 2. Перелічіть алгебраїчні властивості мішаного добутку трьох векторів. 3. Перелічіть геометричні властивості мішаного добутку трьох векторів. 4. Як обчислити мішаний добуток векторів, заданих координатно? 5. Які геометричні задачі можна розв’язувати, використовуючи мішаний добуток векторів?

ІІ. Завдання корекції знань

1. З’ясувати, якою є трійка а, b, с (правою чи лівою), якщо:

1) = , = , = ; 2 ) = , = , = ;

3) = , = , = ; 4) = + y, = , = ;

5) = + , = — , = ; 6) = + , = — , = .

2. Дано три вектори:

= {1; — 1; 3}, = { — 2; 2; 1}, = {3;—2;5}.

Розрахуйте .

3. Встановити, чи компланарні вектори , якщо:

1) = {2;3; — 1}, = {l; - 1;3}, = { 1; 9; — 11};

2) = {3; — 2; 1 }, = {2;1;2}, = {3; — 1; —2 );

3) = {2; —1; 2}, = {1;2;— 3 }, = {3;— 4; 7 }.

4. Вирахувати об’єм тетраедру, вершини якого знаходяться в точках А (2; —1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1) і D (4; 1; 3).

5. Дано вершини тетраедра:

А(2; 3; 1), В(4; 1;—2), С(6; 3; 7), D(— 5; —4; 8).

Знайти довжину його висоти, опущеної із вершини D.

6. Для тетраедра, вершинами якого являються точки А(3,-2,4), В(-1,-7,0), С(0,5,2) і Р(3,-1,-2), обчислити об’єм.

Приклади модульного завдання

Варіант№1

1. Колінеарні вектори.

2. Сформулюйте правило «паралелограма» додавання і віднімання векторів.

3. Означення координат точки.

4. Яку трійку векторів простору називають правою?

5. Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох векторах. (5б)

Задачі:

1.Задано координати вершин піраміди АВСК, А(2,-3,1), В(6,1,-1), С(4,8,-9), К(2,-1,2).

Потрібно: а) зобразити піраміду в ПДСК, за вершину піраміди взяти точку В (1б);

б) знайти довжини сторін основи (1б);

в) обчислити кути основи (2б);

г) знайти площу основи (2б);

д) знайти об‘єм піраміди (2б);

е) виразити геометрично вектор через . (1б)

2. Чи утворюють три вектора , , в просторі базис. (3б)

3. Запишіть координати точок з координатами і в ПДСК, а (2;8) і (4,-5) – в полярній системі. (4б)

Варіант№2

1. Означення вектора.

2. Сформулюйте правило «багатокутника» додавання векторів.

3. Означення базису векторного простору.

4. Означення декартового реперу, приклад для .

5. Обчислення площі трикутника, побудованого на двох векторах. (5б)

Задачі:

1.Задано координати вершин піраміди , А(0,4,5), В(-2,0,4), С(-3,1,3), (0,-4,0).

Потрібно: а) зобразити піраміду в ПДСК, за вершину піраміди взяти точку С (1б);

б) знайти довжини сторін основи (1б);

в) обчислити кути основи (2б);

г) знайти площу основи (2б);

д) знайти об‘єм піраміди (2б)

е) виразити геометрично вектор через . (1б)

2. Чи утворюють три вектора , , в просторі базис. (3б)

3. Запишіть координати точок з координатами і в ПДСК, а (-2;6) і (3,7) – в полярній системі. (4б)

Варіант№3

1. Первісні поняття математики.

2. Перелічіть види векторів.

3. Знаходження суми і різниці векторів, заданих координатами.

4. Означення афінного репера, приклад для .

5. Обчислення об’єму паралелепіпеда. (5б)

Задачі:

1.Задано координати вершин піраміди АВСК, А(5,-1,-4), В(9,3,-6), С(7,10,-3), К(5,1,-3).

Потрібно: а) зобразити піраміду в ПДСК, за вершину піраміди взяти точку А (1б);

б) знайти довжини сторін основи (1б);

в) обчислити кути основи (2б);

г) знайти площу основи (2б);

д) знайти об‘єм піраміди (2б).

е) виразити геометрично вектор через . (1б)

2. Розкладіть вектор в виді лінійної комбінації векторів . (3б)

3. Запишіть координати точок з координатами і в ПДСК, а (1,4) і (-2,5) – в полярній системі. (4б)

Варіант№4

1. Довжина вектора.

2. Правило «трикутника» додавання і віднімання векторів.

3. Розмірність векторного простору.

4. Запишіть значення скалярного добутку базисних векторів .

5. Колінеарні вектори. (5б)

Задачі:

1.Задано координати вершин піраміди АВСК, А(1,-4,0), В(5,0,-2), С(3,7,-10), К(1,-2,1).

Потрібно: а) зобразити піраміду в ПДСК, за вершину піраміди взяти точку К (1б);

б) знайти довжини сторін основи (1б);

в) обчислити кути основи (2б);

г) знайти площу основи (2б);

д) знайти об‘єм піраміди (2б);

е) виразити геометрично вектор через . (1б)

2. Чи утворюють чотири вектора , , в просторі базис. (3б)

3. Запишіть координати точок з координатами і в ПДСК, а (-3,7) і (10,2) – в полярній системі. (4б)

Модуль 2 «Рівняння прямої на площині. Рівняння площини. Рівняння прямої у просторі.»

Стислий конспект

Як сказав Евклід: лінія – це довжина без ширини.

Лінією на площині називається геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють деякому рівнянню . Алгебраїчні лінії – це лінії, які в деякій афінній системі координат визначається рівнянням , причому - багаточлен. Наприклад, . Будь-яка неалгебраїчна лінія називається трансцендентною, наприклад, . Порядком алгебраїчної лінії являється степінь багаточлена, наприклад, для кривої порядок є 12. алгебраїчна лінія називається роз падаючою, якщо багаточлен можна представити в виді добутку деяких багаточленів, наприклад, .

Кожна алгебраїчна лінія -го порядку перетинається з будь-якою прямою не більш ніж в точках (трансцендентна може мати безліч точок). Щоб алгебраїчна лінія проходила через початок афінної системи, необхідно і достатньо, щоб вільний член в її рівнянні дорівнював 0.

Пряма на площині та просторі	Площина
Координатне рівняння
Проходить через дві точки і - на площині і , то - у просторі	Проходить через три точки і ,
Канонічне рівняння
Направляючим вектором до прямої називається будь-який ненульовий вектор, колінеарний до прямої. Точка і направляючи вектор - на площині Точка і направляючий вектор	Направляючим бівектором площини називається будь-який ненульовий бівектор , якого .
Загальне рівняння
- на площині Пряма може бути задана як перетин двох площин - у просторі.
За відомою нормаллю
Будь-який ненульовий вектор , перпендикулярний до заданої прямої називається нормаллю. Точка і вектора	Нормаллю до площини називається будь-який ненульовий вектор , перпендикулярний цій площині точка перпендикулярно вектору
Рівняння в відрізках на осях
Точки і	Точки і і С(0,0,с)
Розташування відносно ПДСК
Розташування прямої відносно осей координат в ПДСК: С=0 - пряма проходить через початок координат, В=0 - пряма паралельна осі ординат, А=0 - пряма паралельна осі абсцис, А=С=0 - вісь абсцис, В=С=0 - вісь ординат.		Розташування площини відносно ПДСК. - площина проходить через початок координат А=0 - площина паралельна осі абсцис В=0 - площина паралельна осі ординат С=0 - площина паралельна осі аплікат А=В=0 - площина паралельна площині А=С=0 - площина паралельна площині В=С=0 - площина паралельна площині А=В=D=0 - площина В=С=D=0 - площина А=С=D=0 - площина .
Взаємне розташування
На площині дві прямі і в загальному виді. 1.Прямі співпадають тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти пропорційні . 2.Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли перші коефіцієнти пропорційні і не пропорційні вільним коефіцієнтам . 3.Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх перші коефіцієнти не пропорційні .			В просторі дві площини і . Площини у просторі можуть співпадати, бути паралельними і перетинатися. площини співпадають, тобто . площини паралельні, тобто . площини перетинаються, тобто , коли не всі коефіцієнти пропорційні.
Кут і відстані від точки до прямої або площини
Кутом між прямими називається менший з кутів, утворений при перетині цих прямих. Якщо відомі направляючі вектори прямих - , тоді кут між прямими можна знайти за формулами . Якщо відомі нормалі прямих , то , а якщо їх кутові коефіцієнти - . Відстанню від точки до прямої називається перпендикуляр, опущений з цієї точки на пряму. Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою .			Кутом між площинами називається найменший з двогранних кутів, утворений цими площинами. Мірою двогранного кута являється лінійний кут , який обчислюється за формулою . Відстань від заданої точки до площини – це перпендикуляр, опущений з цієї точки на площину. Обчислюється за формулою .

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Визначити, які з точок , , , , , лежать на прямій .

Розв’язок: Для визначення питання потрібно в загальне рівняння прямої підставити відповідні координати кожної з точок. Якщо утворюється тотожність , то точка лежить на прямій. Отже маємо, для умова виконується, значить т. А лежить на заданій прямій.

Відповідь: серед даних точок т.А,C,D лежать на прямій , а т.B,E,G - не лежать.

Задача 2. Визначити точки перетину прямої з координатними осями та побудувати цю пряму в ПДСК.

Розв’язок: Щоб розв’язати задачу, найраціональніше представити загальне рівняння прямої в відрізок на осях. Зробимо декілька тотожних перетворень . Обидві частини рівності поділимо на 12.

або

Спростимо коефіцієнти при змінних x і y і запишемо рівняння прямої в відрізках на осях

Із цього рівняння видно, що пряма на осі абсцис (ox) відсікає 6 одиниць, тобто перетинає вісь ox в т.А(6;0), на осі ординат – (-4) одиниць, тобто перетинає вісь oy в т.В(0;-4).

Щоб побудувати задану пряму достатньо на осях ox і oy відмітити точки А і В. Через них проходить єдина пряма:

Відповідь: Пряма перетинає вісь ox в т.А(6;0), вісь oy в т.В(0;4).

Задача 3. Знайти точку перетину двох прямих , .

Розв’язок: Розв’язання геометричної задачі зводиться до аналітичного способу. Точкою перетину прямих являється така точка, координати якої x,y задовольняють рівностям (рівнянням прямих). Отже необхідно розв’язати систему рівнянь.