Модуль 1 «Вектори. Операції над векторами.»

Стислий конспект

Поняття вектора.

В ідрізок прямої називається вектором або направленим відрізком, якщо множина його кінців впорядкована.

Модулем вектора, абсолютною величиною, довжиною називають відстань між його початком і кінцем. Позначається .

Види векторів
Нульовий	Вектор називається нульовим , якщо його початок і кінець співпадають.
Одиничний	Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним або ортом .
Компланарними	Вектори називаються компланарними, якщо лежать в паралельних площинах.
Рівні	Два вектора являються рівними, якщо їх довжини і напрямки співпадають. 1) ,якщо 2) .
Колінеарні Сонаправлені	Нуль-вектор колінеарний будь-якому вектору. Два колінеарних вектора – сонаправлені, якщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, яка з‘єднує їх початки.
Колінеарні Протилежно направлені	Протилежно направлені, якщо їх кінці лежать по різні сторони прямої, яка з‘єднує їх кінці.

Лінійні операції над векторами.

Додавання
Правило трикутника	Правило паралелограма
Сумою двох векторів являється вектор , який отримують наступним чином: 1) паралельним переносом з‘єднують вектори послідовно; 2) вектор - це вектор, у якого початок співпадає з початком першого вектора, а кінець – з кінцем другого. Для будь-яких трьох точок А,В, С справедливе правило .	Сумою двох векторів являється вектор , який отримують наступним чином: 1)паралельним переносом з‘єднують початки векторів; 2) добудовують паралелограм; 3) вектор - це вектор, який лежить на діагоналі паралелограма, що має спільний початок з цими векторами. .
Віднімання векторів
Різницею векторів являється вектор , який отримують наступним чином:1)будують вектор ; 2) паралельним переносом з‘єднують вектори послідовно; 3) знаходять суму векторів .	Різницею двох векторів являється вектор , який отримують наступним чином: 1)паралельним переносом з‘єднують початки векторів; 2) добудовують паралелограм; 3) вектор лежить на діагоналі, яка з‘єднує кінці векторів і направлений до зменшуваного.
Множення вектора на дійсне число
Добутком вектора на число є вектор , який дорівнює , тобто , якщо і , якщо . З геометричної точки зору ця дія позначає розтяг вектора в разів, якщо і стиск в разів, якщо .
Правило багатокутника
Додавання трьох і більше векторів: 1) паралельним переносом з‘єднують вектори послідовно; 2) сумою всіх векторів є вектор, який з‘єднує початок першого вектора з кінцем останнього і направлений до кінця останнього вектора.

Лінійна залежність векторів.

Вектор називається лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами . Лінійна комбінація називається нульовою, якщо , тобто , і тривіальною – якщо всі коефіцієнти . Очевидно, що кожна тривіальна лінійна комбінація являється нульовою, але не кожна нульова – тривіальна.

Наприклад, - нульова і нетривіальна лінійна комбінація векторів.

Система векторів лінійно залежна, якщо існує хоча б одна її нетривіальна лінійна комбінація. Система векторів лінійно не залежна, якщо тільки тривіальна лінійна комбінація являється нульовою.

Зауваження:

1. система векторів, яка містить - лінійно залежна.

2. Критерій лінійної залежності: система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли вона містить вектор, який являється лінійною комбінацією решти векторів.

3. Колінеарні вектори лінійно залежні.

4. Три вектора лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли компланарні.

5. Три вектора на площині лінійно залежні.

6. Чотири вектора у просторі лінійно залежні.

7. Якщо система векторів лінійно не залежна, то лінійно залежною вона бути не може.

Векторний простір. Базис. Розмірність базису.

Непуста множина елементів з введеними операціями додавання і множення елемента на дійсне число, для яких виконуються властивості:

І. відносно додавання:

1. (результат завжди належить тій самій множині).

2. комутативність .

3. асоціативність .

4. існує єдиний вектор , для будь-якого .

5. для будь-якого існує єдиний вектор , такий що .

ІІ. Відносно множення:

6. (результат завжди належить тій самій множині).

7. .

8. .

ІІІ. Додавання і множення: дистрибутивний закон

9. .

10. називається векторним простором .

Множина - одновимірний векторний простір, елементи якого знаходяться на фіксованій прямій. - множина векторів, які лежать в фіксованій площині. І - тривимірний векторний простір, елементи якого належать простору.

Впорядкована система векторів з векторного простору називається базисом простору, якщо

1) вектори лінійно не залежні;

2) кожний вектор простору можна представити в виді лінійної комбінації цих векторів з дійсними коефіцієнтами.

Наприклад, в просторі базисом являється будь-який ненульовий вектор, в - пара не колінеарних впорядкованих векторів, в - трійка не компланарних векторів

Кожний з просторів містить нескінчену кількість базисів, але кожен з них буде містити однакову кількість векторів. Розмірністю простору є число векторів базису.

Кожен вектор простору єдиним чином можна представити в виді лінійної комбінації векторів обраного базису.

Вираз називається розкладом вектора по векторам базису , а коефіцієнти - координатами вектора. .

Координати лінійної комбінації векторів дорівнює тим самим лінійним комбінаціям відповідних координат цих векторів в фіксованому базисі

, тоді