Задача прикрепления потребителей к поставщикам (транспортная задача)

Рассмотрим проблему организации перевозки некоторого условного продукта между пунктами его производства, количество которых равно m, и n пунктами потребления. Каждый i–й пункт производства (i = 1,…, m) характеризуется запасом продукта а_i ≥0, а каждый j-ый пункт потребления (j = 1,…, n) – потребностью в продукте b_j≥0. Сеть коммуникаций, соединяющая систему рассматриваемых пунктов, моделируется с помощью матрицы С размерности m×n, элементы которой (с_ij) представляют собой нормы затрат на перевозку единицы груза из пункта производства A_i в пункт потребления B_j. То есть задана таблица (матрица) 5:

Таблица 5

bj аi	B1		B2		…	Bn
A1		c11		c12	…		c1n	a1
A2		c21		c22	…		c2n	a2
…	…		…		…	…		…
Am		cm1		cm2	…		cmn	am
	b1		b2		…	bn

Строки транспортной таблицы соответствуют пунктам производства А_i (в последней клетке каждой строки указан объем запаса продукта a_i), а столбцы – пунктам потребления В_j (последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности b_j). Все клетки таблицы (кроме тех, которые расположены в нижней строке и правом столбце) содержат информацию о перевозке из i–го пункта производства в j–ый пункт потребления.

План перевозки груза в данной транспортной сети представляется в виде массива элементов размерности m×n:

.

Ограничения на возможные значения х_ij имеют вид:

1) ограничения на удовлетворение потребностей во всех пунктах потребления:

(.1)

2) ограничения на возможности вывоза запасов из всех пунктов производства:

(.2)

3) условия неотрицательности компонент вектора плана х:

Существенной характеристикой описываемой модели является соотношение параметров а_i и b_j. Если суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, а именно,

, (.3)

то система называется сбалансированной (или говорят, что имеют закрытую транспортную задачу). При выполнении условия сбалансированности разумно накладывать такие ограничения на суммарный ввоз и вывоз груза, при которых полностью вывозится весь груз и не остается неудовлетворенных потребностей, то есть условия (3.3.1) и (3.3.2) приобретают форму равенств.

Поскольку ограничения модели (3.3.1) и (3.3.2) могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса (3.3.3). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть

(3.3.4)

На практике запас продукции у отправителей не будет исчерпан. Или, по-другому, план вывоза будет недовыполнен. Ситуация может быть охарактеризована как излишек продукции или дефицит спроса.

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

(3.3.5)

В данной постановке запас продукции у отправителей недостаточен для покрытия спроса. План завоза продукции потребителям будет недовыполнен. Ситуация может быть охарактеризована как дефицит продукции или ажиотажный спрос.

Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов (реально не существующих) для фиктивных перевозок. Так как фиктивные перевозки реально не осуществляются и не влияют на общую стоимость перевозок, то .

Предположим, что затраты на перевозку прямо пропорциональны количеству перевозимого груза. Тогда суммарные затраты на перевозку в системе примут вид:

Тогда модель транспортной задачи имеет вид:

или в подробном виде:

Если привести условия транспортной задачи к канонической форме задачи линейного программирования, то матрица задачи будет иметь размерность (m+n)×mn. Ранг матрицы задачи равен m+n-1, и ее невырожденный базисный план должен содержать m+n-1 ненулевых компонент.

Пример. Три поставщика некоторого товара располагают следующими запасами: первый – 120 единицами, второй – 100 единицами, третий – 80 единицами. Товар должен быть перевезен трем потребителям: спрос первого – 90 единиц, спрос второго – 90 единиц, спрос третьего – 120 единиц. Известны также показатели затрат на перевозку единицы товара от каждого поставщика к каждому потребителю. Требуется составить оптимальный (наилучший) план перевозок, приводящий к наименьшим затратам на выполнение данной операции.

Таблица 6

потребители поставщики	B1		B2		Bn		Возможности поставщиков
A1		7		6		4	120
A2		3		8		5	100
Am		2		3		7	80
Спрос потребителей	90		90		120

Имеем закрытую транспортную задачу, так как количество товара у поставщиков (возможности поставщиков) равно количеству товаров для потребителей (спрос потребителей): .

Под планом перевозок понимается матрица , в которой х_ij – количество единиц товара, планируемого к перевозке от i–го поставщика к j–ому потребителю.

Математическая постановка задачи имеет вид:

найти оптимальный план перевозок, доставляющий минимум целевой функции (показателю эффективности)

F=7x₁₁+6x₁₂+4x₁₃+3x₂₁+8x₂₂+5x₂₃+2x₃₁+3x₃₂+7x₃₃

при ограничениях