Задача о рационе

Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П₁, П₂, П₃, П₄; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно с₁, с₂, с₃, с₄. из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков – не менее b₁ единиц; углеводов – не менее b₂ единиц; жиров – не менее b₃ единиц. Для продуктов П₁, П₂, П₃, П₄ содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице 3, где a_ij (i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3) – какие-то определенные числа; первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, углеводы, жиры).

Таблица 3

Продукт	Элементы
	Белки	Углеводы	Жиры
П1	a11	a12	a13
П2	a21	a22	a23
П3	a31	a32	a33
П4	a41	a42	a43

Требуется составить такой пищевой рацион (то есть назначить количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и при этом стоимость рациона была минимальна.

Составим математическую модель. Обозначим х₁, х₂, х₃, х₄ количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, – стоимость рациона (обозначим ее L); она линейно зависит от элементов решения х₁, х₂, х₃, х₄:

L= с₁х₁+ с₂ х₂+ с₃ х₃+ с₄ х₄,

или, короче,

,

Итак, вид целевой функции известен и она линейна. Запишем теперь в виде формул ограничительные условия по белкам, углеводам, жирам. Учитывая, что в одной единице продукта П₁ содержится a₁₁ единиц белка, в х₁ единицах - a₁₁ х₁ единиц белка, в х₂ единицах продукта П₁ содержится a₂₁ х₂ единиц белка и т.д., получим три неравенства:

Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения х₁, х₂, х₃, х₄.

Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных х₁, х₂, х₃, х₄,, чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:

В более общем виде задача формулируется следующим образом.

При организации питания больших коллективов людей, например, в армии, больницах и т.п., возникает задача о наиболее экономном рационе питания, удовлетворяющем определенным медицинским требованиям. Пусть имеется n продуктов питания (хлеб, мясо, молоко, картофель, …), в которых учитывается m полезных веществ (белки, углеводы, жиры, витамины,…). Известны следующие параметры:

• a_ij –содержание i-го вещества в единичном количестве j-го продукта, a_ij ≥0 (i = 1,…,m, j = 1,…,n);

• b_i – минимальное количество i-го вещества , которое должно потребляться индивидуумом в расчете, скажем, на месяц, b_i≥0;

• с_j – цена единичного количества j-го продукта, с_j≥0.

Задача о рационе формулируется следующим образом:

При ограничениях

,

где х_j обозначает количество j-го продукта, потребляемое индивидуумом в течение месяца. Иными словами, среди всех рационов питания х=(х₁, …, х_n), покрывающих минимальные потребности индивидуума в полезных веществах, необходимо выбрать наиболее дешевый.

Пример. Для жизнедеятельности человека среднего возраста ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг продуктов питания, а также стоимость этих продуктов в магазине приведены в таблице 4. Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее указанных выше необходимых питательных веществ и обеспечивающий минимальную общую стоимость закупаемых продуктов.

Таблица 4

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов, г
	Мясо	Рыба	Масло	Картофель	Сыр	Крупа
Белки	180	190	70	21	260	130
Жиры	20	3	865	2	310	30
Углеводы	0	0	6	200	20	650
Минеральные соли	9	10	12	70	60	20
Стоимость 1 кг продукта, руб.	70	100	60	15	150	20

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ количество покупаемого каждого вида продукта. Тогда целевая функция данной задачи – обеспечение минимальных затрат на покупку продуктов питания – будет записана в виде:

minF= min(70х₁+ 100 х₂+ 60 х₃+ 15 х₄+150 х₅+ 20 х₆)

при следующих ограничениях: