Транспортная задача

Транспортная задача может быть решена симплекс методом. Однако специфическая форма системы ограничений позволяет упростить симплекс метод. Наиболее распространенным методом является метод потенциалов, при котором для каждой i-ой строки (i-ому поставщику) устанавливается потенциал u_i, который можно интерпретировать как цену продукта в пункте поставщика, а для каждого столбца j (j-ому потребителю) – потенциал v_j, который можно принять за цену продукта в пункте потребителя.

Идея метода состоит в построении начального опорного плана, который в последующем может улучшаться до тех пор, пока не будет удовлетворяться признак оптимальности плана. Тем самым, решение задачи методом потенциалов включает предварительный этап и конечное число итераций.

На предварительном этапе определяем первоначальный план перевозок одним из методов:

МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА. Заполнение клеток происходит последовательно по следующему алгоритму: сначала вывозится груз из пункта А₁ и завозится в пункт В₁, и этой перевозке х₁₁ присваивается максимально возможное значение. Если заявка пункта В₁ выполнена, а в пункте А₁ еще остается груз, то он вывозится в пункт В₂ и т.д. Если в пункте А₁ недостаточно было груза для В₁, то недостающий груз берется из А₂ и т.д.

После того как спрос потребителя B₁ удовлетворен, он выпадает из рассмотрения и т.д.

Пример.

Имеем закрытую транспортную задачу, так как количество продукта в пунктах производства (у поставщиков) равно количеству продукта, необходимому в пунктах потребления:

20+25+30+15+10=100=15+35+35+15.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	15 5	5 7	6	8	20
А2	6	25 7	8	5	25
А3	5	5 4	25 6	7	30
А4	6	5	10 7	5 4	15
А5	5	6	6	10 6	10
Заявки	15	35	35	15	100

Сначала везем груз из А₁ в пункт В₁: в наличии 20 единиц продукта, необходимо 15 единиц. Выполняем все потребности потребителя В₁, исключаем его из рассмотрения, а в пункте А₁ остается 5 единиц продукта. Переходим к В₂ потребителю – необходимо 35 единиц продукта. Везем в него остатки из пункта А₁ и исключаем его из рассмотрения. Теперь потребителю В₂ необходимо 30 единиц. Переходим к поставщику А₂, у него в наличии 25 единиц, перевозим из него все 25 единиц и исключаем его из рассмотрения, после чего потребителю В₂ недостает 5 единиц. Переходим к поставщику А₃, у него в наличии 30 единиц продукта. Поставляем В₂ недостающие 5 единиц и исключаем его из рассмотрения. В пункте А₃ остается 25 единиц продукта. Переходим к В₃ потребителю – также необходимо 35 единиц продукта, везем из А₃ 25 единиц продукта и исключаем его из рассмотрения. Поставляем В₃ недостающие 10 единиц из пункта А₄ и исключаем его из рассмотрения. В пункте А₄ остается 5 единиц продукта, которые везем в пункт В₄, покрывая часть его потребностей. И оставшиеся 10 единиц везем из пункта А₅ в пункт В₄.

Стоимость перевозки: F=5*15+5*7+25*7+5*4+25*6+10*7+5*4+10*6=605

Существенным недостатком метода северо-западного угла является то, что он построен без учета стоимости перевозок.

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА. Заполнение клеток транспортной таблицы начинается с той клетки, в которой значение (стоимость перевозки) минимально. В нее записывается максимально возможное значение перевозки х_ij, которое может быть равно либо запасу а_i, либо заявке в_j. Если заявка в_j выполнена полностью, то j-й столбец больше не рассматривается. Если не вывезенный груз еще остался, то он вывозится в пункт с наименьшим тарифом.

Пример.

	В1	В2	В3	В4	Запасы
А1	15 5	7	5 6	8	20
А2	6	7	25 8	5	25
А3	5	30 4	6	7	30
А4	6	5	7	15 4	15
А5	5	5 6	5 6	6	10
Заявки	15	35	35	15	100

Наименьшая стоимость перевозки равна 4 – в клетках (А₃, В₂) и (А₄, В₄). Начинаем, например, с (А₃, В₂). Пункту В₂ необходимо 35 единиц продукции, у пункта А₃ в наличии 30 единиц продукта, все перевозим и исключаем А₃ из рассмотрения. Переходим к пункту В_4, которому необходимо 15 единиц продукции, у пункта А₃ в наличии 15 единиц, все перевозим и исключаем А₃ и В₄ из рассмотрения. Теперь наименьшая стоимость перевозки равна 5 – в клетках (А₁, В₁), (А₂, В₄), (А₃, В₁), (А₂, В₄).

Стоимость перевозки: W = 30*4+5*6+15*4+15*5+5*6+25*8+5*6 = 545.

При распределении грузов может оказаться, что количество занятых клеток меньше, чем m+n-1. В этом случае задача считается вырожденной. В этом случае недостающее число занятых клеток заполняется нулевыми поставками, которые называются условно занятыми.

Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему соответствует система m+n действительных чисел u_i и v_j, удовлетворяющих условиям u_i+v_j=c_ij для занятых клеток и u_i + v_j –c_ij ≤ 0 для свободных клеток.

Числа u_i и v_j называют потенциалами. В распределительную таблицу добавляют строку v_j и столбец u_i.

Потенциалы u_i и v_j находят из равенства u_i + v_j = c_ij, справедливого для занятых клеток. Одному из потенциалов дается произвольное значение, например u₁ = 0, тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Так, если известен потенциал u_i, то v_j=c_ij–u_i; если известен потенциал v_j, то u_i=c_ij-v_j.

Обозначим ∆_ij=u_i+v_j–c_ij. Эту оценку называют оценкой свободных клеток. Если ∆_ij≤0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок ∆_ij>0, то опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому.

Пример. Решение транспортной задачи

1. Постановка транспортной задачи

Имеются три пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и пять пунктов В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ потребления этого груза. На пунктах А₁, А₂, А₃ находится груз в количествах 90, 70, 110 тонн. В пункты В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ требуется доставить соответственно 50, 60, 50, 40, 70 тонн груза. Расстояния в сотнях километрах между пунктами поставки и потребления приведены в матрице-таблице:

Определить оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.

Изобразим матричную запись задачи:

Bj Ai		B1	B2	B3	B3	B3
		50	60	50	40	70
A1	90	9	1	1	5	6
		X11	X12	X13	X14	X15
A2	70	6	4	6	8	5
		X21	X22	X23	X24	X25
A3	110	2	9	3	5	3
		X31	X32	X33	X34	X35

2. Математическая модель задачи

Целевая функция

.

где X_ij – объем поставок груза,

при ограничениях:

X_ij≥0,

Подробные ограничения по потребностям и запасам каждого потребителя и поставщика соответственно отражены в таблице:

По потребностям		По запасам
B1	X11+X21+X31=50	A1	X11+X12+X13+X14+X15=100
B2	X12+X22+X32=60	A2	X21+X22+X23+X24+X25=70
B3	X13+X23+X33=50	A3	X31+X32+X33+X34+X35=70
B4	X14+X24+X34=40
B5	X15+X25+X35=70

3. Решение задачи аналитическим методом

Получим первоначальный план перевозок методом минимальной стоимости:

Bj Ai		B1	B2	B3	B3	B3
		50 0	60 0	50 20 0	40 0	70 30 0
A1	90 30 0	9	1	1	5	6
			60	30
A2	70 40 0	6	4	6	8	5
					40	30
A3	110 60 40 0	2	9	3	5	3
		50		20		40

Процесс выполнения получения опорного решения с последовательным назначением перевозок в ячейки: А₁В₂ – А₁В₃ – А₃В₁ – А₃В₃ – А₃В₅ – A₂B₅ –A₂B₄.

Проверка плана на вырожденность: m+n-1=7=7 – количество заполненных клеток. План невырожденный.

Проверим опорное решение на оптимальность по методу потенциалов. Расчет потенциалов строк и столбцов для занятых из условия v_i + u_j = c_ij для занятых клеток и проверка условия v_i + u_j ≤ c_ij для незанятых приведены в таблице.

	v1	v2	v3	v4	v5
u1	9	1	1	5	6
		60	30
u2	6	4	6	8	5
				40	30
u3	2	9	3	5	3
	50		20		40

F=60+30+320+150+100+60+120=840 – стоимость перевозки.

заполненные			незаполненные
№	uj+ vi = cij	значения	№	uj+ vi ≤ cij	условие
А1В2	u1+ v2 = 1	u1=0, v1=0	А1В1	u1+ v1 =0<=9	соблюдается
А1В3	u1+ v3 = 1	u2=4 v2=1	А1В4	u1+ v4 =4<=5	соблюдается
A2B4	u2+ v4 = 8	u3=2 v3= 1	А1В5	u1+ v5 =1<=6	соблюдается
A2B5	u2+ v5 = 5	v4= 4	А2В1	u2+ v1 =4<=6	соблюдается
A3B1	u3+ v1 = 2	v5= 1	A2B2	u2+ v2 =5<=4	не соблюдается
A3B3	u3+ v3 = 3		A2B3	u2+ v3 =5<=6	соблюдается
A3B5	u3+ v5 = 3		A3B2	u3+ v2 =3<=9	соблюдается
			A3B4	u3+ v4 =6<=5	не соблюдается

Из тех условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. У нас одинаковые значения (5-4=1, 6-5=1), выбираем, например, A₂B₂, ставим в клетку неизвестную Х и составляем цикл.

	v1	v2	v3	v4	v5
u1	9	1	1	5	6
		60 - Х	30 + Х
u2	6	4	6	8	5
		Х		40	30 - Х
u3	2	9	3	5	3
	50		20 - Х		40 + Х

Выбираем Х: Х=min{60, 30, 20}=20. Получаем следующую таблицу:

	v1	v2	v3	v4	v5
u1	9	1	1	5	6
		40	50
u2	6	4	6	8	5
		20		40	10
u3	2	9	3	5	3
	50				60

При этом минимальная стоимость транспортных расходов составляет:

F=40+50+80+320+50+100+180=820 .

Проверим опорное решение на оптимальность по методу потенциалов.

заполненные			незаполненные
№	uj+ vi = cij	значения	№	uj+ vi ≤ cij	условие
А1В2	u1+ v2 = 1	u1=0, v1=2	А1В1	u1+ v1 =2<=9	соблюдается
А1В3	u1+ v3 = 1	u2=3 v2=1	А1В4	u1+ v4 =5<=5	соблюдается
A2B2	u2+ v2 = 4	u3=0 v3= 1	А1В5	u1+ v5 =3<=6	соблюдается
A2B4	u2+ v4 = 8	v4= 5	А2В1	u2+ v1 =5<=6	соблюдается
A2B5	u2+ v5 = 5	v5= 3	A2B2	u2+ v3 =4<=6	соблюдается
A3B1	u3+ v1 = 2		A2B3	u3+ v1 =2<=9	соблюдается
A3B5	u3+ v5 = 3		A3B2	u3+ v3 =1<=3	соблюдается
			A3B4	u3+ v4 =5<=5	соблюдается

Критерий выполнен, значит, полученное решение оптимально. Следовательно, минимальная стоимость перевозки F=820, везем из А₁ в В₂ 40 тонн груза, из А₁ в В₃ 50 тонн груза, из А₂ в В₂ 20 тонн груза, из А₂ в В₄ 40 тонн груза, из А₂ в В₅ 10 тонн груза, из А₃ в В₁ 50 тонн груза, из А₃ в В₅ 60 тонн груза.