Задачи для самостоятельного решения

Двойственная задача

Двойственная задача – задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой задачи.

Теория двойственности устанавливает связь между оптимальным распределением ресурсов и некоторой системой оценок на эти ресурсы.

Определим двойственную задачу по отношению к общей задаче линейного программирования следующего вида:

(1)

где l – количество переменных прямой задачи, на которые наложено условие неотрицательности.

Тогда задача следующего вида,

(2)

называется двойственной по отношению к задаче (1), которую назовем прямой. Прямая задача и двойственная являются взаимно двойственными и образуют пару двойственных задач.

В целом двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. Перед построением двойственной задачи знаки неравенств всех ограничений прямой задачи приводятся в соответствие с целевой функцией. Если F(X) стремится к max, то все неравенства должны быть приведены к виду  , а если F(X) стремится к min, то к виду  .

2. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

3. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путем транспонирования.

4. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

5. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

6. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум, и наоборот.

7. Коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

8. Если переменная прямой задачи то j-е условие системы ограничений двойственной задачи являются неравенством, если x_j – любое число, то j-е условие двойственной задачи представляет собой уравнение.

9. Если i-е соотношение прямой задачи является неравенством, то соответствующая оценка i-го ресурса – переменная если i-е соотношение представляет собой уравнение, то переменная двойственной задачи y_i – любое число.

Зависимость между решениями прямой и двойственной задач определяется следующими теоремами, которые также называют теоремами двойственности.

Первая теорема двойственности:

1) Если одна из двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций для их оптимальных планов равны между собой, т.е. F_max=Z_min.

2) Если одна из двойственных задач неразрешима или , то другая задача вообще не имеет допустимых решений.

Вторая теорема двойственности.

План прямой задачи и план двойственной задачи являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда выполняются равенства

Взаимосвязь прямой и двойственной задач позволяет получить оптимальное решение одной задачи непосредственно из симплекс-таблицы другой.

Следствие 1. Для любой симплекс-итерации прямой или двойственной задачи коэффициент при j-й переменной в индексной строке (f-строке) симплекс-таблицы одной задачи равен разности между левой и правой частями j-го неравенства другой задачи.

Это соотношение применимо как для прямой, так и для и двойственной задач.

На основе матричного представления канонической задачи линейного программирования (1) систему ограничений можно свести к следующему виду:

,

где A_Б – матрица, составленная из вектор-столбцов матрицы A, соответствующих базисным переменным (размерности mxm), - вектор базисных переменных (размерности m), - вектор правых частей системы ограничений.

Вектор базисных переменных можно найти:

,

где - обратная матрица, полученная из матрицы A_Б.

Тогда, если обозначить - вектор коэффициентов целевой функции, соответствующих базисным переменным (размерности m), то из теорем двойственности путем несложных преобразований можно получить вектор значений базисных переменных двойственной задачи :

.

Значения переменных двойственной задачи рассматриваются как предельная (мгновенная) оценка вклада i-го ограничения (ресурса) прямой задачи в суммарное значение целевой функции F* при оптимальном решении X*.

Переменные также называют двойственными оценками или теневыми ценами. Величина равна приросту целевой функции, возникающему при увеличении ресурса i на единицу при условии оптимального использования ресурсов.

Следствие 2. Если при использовании оптимального плана прямой задачи i-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, т.е. если , то .

В рамках задачи производственного планирования это означает, что если некоторый ресурс b_j имеется в избыточном количестве (не используется полностью при реализации оптимального плана), то i–е ограничение становится несущественным, и оценка такого ресурса равна 0.

Следствие 3. Если при использовании оптимального плана прямой задачи j – е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, т.е. если , то .

Пример

Задача. Составим двойственную задачу к прямой задаче оптимального определения количества подарочных наборов, которая решена симплексным методом в лабораторной работе №1.

Прямая задача	Двойственная задача

Задачи образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальное количество подарочных наборов, а решение двойственной – оптимальную систему оценок запасов конфет, используемых для комплектования наборов.

Решение прямой задачи получено симплексным методом. Оптимальное количество наборов:

Используя последнюю итерацию прямой задачи (план IV симплексной таблицы 9), найдем оптимальный план двойственной задачи, используя следствие 1.

	x3	x4	x5
Коэффициенты f-строки	14,4	184	84
Соответствующие ограничения двойственной задачи	№3	№4 y10	№5 y20
Значения переменных двойственной задачи	y6=14,4	y1=184	y2=84

Коэффициенты f-строки указывают на разность правой и левой частей ограничений прямой и двойственной задачи. Поэтому из ограничений 4 и 5 двойственной задачи получаем непосредственно значения переменных y₁=184 и y₂=84. Подставляя их в ограничение 3, и, учитывая, что y₃=0 (т.к. a₀₆=0, то это следует из ограничения 6: y₃0), находим, что y₆=14,4. Все остальные переменные двойственной задачи равны нулю, так как ограничения 1 и 2 выполняются как строгие равенства.

Второй способ. Составим матрицу А из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

А_Б = (А₁, A₂, A₆) =

Определив обратную матрицу А^-1 каким либо методом, например, через алгебраическое дополнения, получим:

Как видно из плана IV симплексной табл. 9, обратная матрица А^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных x₄, x₅, x₆.

Тогда = (72, 62, 0) = (184, 84, 0)

Оптимальный план двойственной задачи равен:

(184, 84, 0, 0, 0, 14.4); 169200

Далее проведем анализ чувствительности полученного оптимального решения.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели определения оптимального количества наборов:

Первое и второе ограничение прямой задачи выполняются как равенства. Это означает, что запасы конфет первого и второго видов полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными и их оценки, согласно второй теоремы двойственности, отличны от нуля (y₁^*>0, y₂^*>0). Третье ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. запасы конфет третьего вида израсходованы не полностью, остаток его в оптимальном плане x₆^* = 160. Значит, запас конфет третьего вида не является дефицитным и цены в оптимальном плане не имеет y₃^*=0.

Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды запасов конфет, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

Первое и второе равенство двойственной задачи выполняются как равенства. Это означает, что двойственные оценки запасов, используемые для комплектования единицы наборов видов A и B, равны в точности доходам. Поэтому продавать эти виды наборов экономически целесообразно, а их реализация предусмотрена оптимальным планом прямой задачи (x₁^*>0, x₂^*>0). Третье ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка, используемая при реализации единицы набора вида С, выше дохода от его продажи. Следовательно продавать наборы вида С невыгодно, а в оптимальном плане прямой задачи x₃^*=0.

Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу. Например, увеличение запасов конфет второго вида приведет к получению нового оптимального плана, в котором прибыль возрастает на 84 и станет равной

169284 руб.

Двойственная оценка y₂ связана со вторым ограничением прямой задачи. Дополнительная переменная x₅ второго ограничения прямой задачи при оптимальном распределении ресурсов (последняя итерация в табл. 9 ) определяет коэффициенты структурных сдвигов k_c, которые показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет уменьшения количества подарочных наборов вида А на величину 4 единицы, увеличения количества наборов В на 6 единиц, и увеличения остатка запасов третьего вида на 0,2 кг.

В то же время ввод в продажу невыгодного вида наборов С уменьшает размер дохода. Если x₃^* = 1, то

При этом коэффициенты структурных сдвигов оптимальной симплексной таблицы 1.2.1 столбца x₃ показывают, что указанное уменьшение дохода происходит за счет увеличения наборов А на 1,6 единицы, уменьшения наборов В на 0,4 единицы и уменьшения остатка запасов конфет третьего вида на 0,18 кг.

Таким образом, двойственные оценки связаны с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи оказывает влияние на ее оптимальный план и на систему двойственных оценок.