1. Составление начального опорного плана.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных x₄, x₅, x₆:

Матрица коэффициентов A=(a_ij) этой системы уравнений имеет следующий вид:

Векторы ‑ линейно независимы, так как определитель, составленный из компонент этих векторов, отличен от нуля. Следовательно, соответствующие этим векторам переменные x₄, x₅, x₆ являются базисными и в этой задаче определяют объемы неиспользованных ресурсов.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных.

Целевую функцию запишем в виде уравнения:

Полагая, что свободные переменные x₁ =0, x₂ =0, x₃ =0, получим первый опорный план в котором базисные переменные x₄ =600, x₅ =700, x₆ =500. Следовательно, наборы не комплектуются и соответственно не продаются, доход равен нулю, запасы конфет не расходуются. Полученный первый опорный план запишем в симплексную таблицу 9.

Вторая строка таблицы (индексная строка или f-строка) заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками. Целевую функцию в таком виде называют нулевым приведенным уравнением F₀, а коэффициенты при переменных обозначают a_0j.

2. Проверка плана на оптимальность. Первый опорный план неоптимальный, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: -72, -62, -76 (имеются a_0j < 0). Признаком оптимальности опорного плана является положительность всех a_0j.

3. Определение ведущих столбца и строки. За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как сравнивая по модулю имеем: |-76| > {|-72|, |-62|}. Вычислим значения как частное от деления и из них выберем наименьшее:

=min[1500;3500;5000]=1500

Следовательно, первая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 0,4 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и выделен в таблице 9.

2. Построение нового опорного плана. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₄ в план II войдет переменная x₃. Строка, соответствующая переменной x₃ в плане II, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана I на разрешающий элемент РЭ=0,4. На месте разрешающего элемента в плане II получаем 1. В остальных клетках столбца x₃ плана II записываем нули. Все остальные элементы нового плана II, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ=0,4. Во второй вершине по диагонали находится старое значение элемента, например значение целевой функции F(X₁)=0=СЭ, которое указывает на место положение нового НЭ в новом плане II. Третий элемент А=600 и четвертый элемент В=-76 завершают построение прямоугольника в недостающих двух вершинах и расположены по другой диагонали. Значение нового элемента в плане II находится их выражения:

НЭ=СЭ-(А*В)/РЭ=

Элементы строки определяются аналогично:

; ;

; .

Описанный способ перехода к новому базису называется правилом прямоугольника и реализуется с помощью формул Жордана-Гаусса:

,

где a_lk – разрешающий элемент.

Таблица 9

План	Базисные переменные	Значения базисных переменных	Значения коэффициентов при
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
I	→x4 x5 x6	600 700 500	0,3 0,2 0,2	0,2 0,3 0,1	0,4 0,2 0,1	1 0 0	0 1 0	0 0 1	1500 3500 5000
Индексная строка		0	-72	-62	↑ -76	0	0	0
II	x3 →x5 x6	1500 400 350	0,75 0,05 0,125	0,5 0,2 0,05	1 0 0	2,5 -0,5 -0,25	0 1 0	0 0 1	3000 2000 7000
Индексная строка		114000	-15	↑ -24	0	190	0	0
III	→x3 x2 x6	500 2000 250	0,625 0,25 0,1125	0 1 0	1 0 0	3,75 -2,5 -0,125	-2,5 5 -0,25	0 0 1	800 8000 2222
Индексная строка		162000	↑ -9	0	0	130	120	0
IV	x1 x2 x6	800 1800 160	1 0 0	0 1 0	1,6 -0,4 -0,18	6 -4 -0,8	-4 6 0,2	0 0 1
Индексная строка		169200	0	0	14,4	184	84	0

Все элементы, расположенные на пересечении строк и столбцов, соответствующих одноименным базисным элементам равны 1, остальные элементы столбца в базисах векторов, включая индексную строку, равны 0. Аналогично проводятся расчеты по всем строках таблицы, включая индексную.

Выполняя последовательно все этапы алгоритма, формулируем план II.

План II не является оптимальным, т.к. коэффициенты в индексной строке <=0. По описанному выше алгоритму составляем план III.

На четвертой итерации получаем план IV, который является оптимальным, так как все коэффициенты в индексной строке >=0.

Оптимальный план можно записать так:

Следовательно, необходимо комплектовать подарочные наборы вида А 800 шт., вида В – 1800 шт. Подарочные наборы вида С не комплектуются. При этом предприятие получает максимальный доход в размере 169200 руб. В оптимальном плане среди базисных переменных находится дополнительная переменная x₆. Это указывает на то, что остается запас конфет “Баунти” в количестве 160 кг, т.к дополнительная переменная x₆ была введена в третье ограничение задачи, характеризующее собой использование конфет “Баунти”.

В индексной строке оптимального плана в столбцах переменных x₃, x₄, x₅, не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи линейного программирования является единственным.