10. Математичний маятник

Математичний маятник – це тіло, підвішене на невагомій, нерозтяжній нитці, довжина якої в бага­то разів більша за його розміри.

Тіло рухається по дузі, яка майже горизонтальна. - для малих α.

– проекція прискорення (тангенційне прискорення), з яким коливається маятник, прямо пропорційна координаті (зміщенню), взятій з протилежним знаком. Залежність проекції приско­рення, з яким коливається математичний маятник, від зміщення називається рівнянням, яке описує ко­ливання математичного маятника.

Залежність координати (зміщення) тіла від часу називається рівнян­ням коливального руху. Для його виведення другим способом використаємо математичний аналіз. У ньому є поняття похідної. З точки зору математич­ного аналізу похідна - це межа, до якої прямує швидкість зміни фізичної величини при умові, що час її зміни прямує до нуля

Швидкість – це перша похідна від координати за часом, а прискорення - перша похідна від швидкості за часом або друга похідна від координати за часом, — рівняння, яке описує коливання математичного маятника в диференціальному вигляді (1). Позначимо

Згідно з рівнянням (1) при вільних коливаннях тіла координата х змінюється в часі так, що друга похідна від координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком. З математично­го аналізу відомо, що таку властивість мають функції sin і cos. Це означає, що координата тіла під час вільних коливань змінюється за законом sin або cos. Періодичні зміни фізичної величини за законом sin або cos називають­ся гармонічними коливаннями.

– рівняння механічних коливань математичного маятника від максимального зміщення.

– рівняння механічних коливань математичного маятника від положення рівноваги.

Відповідно взявши першу похідну від рівняння механічних коливань математичного маятника, знайдемо залежність проекції швидкості від часу, взявши другу похідну, знайдемо залежність проекції прискорення від часу для математичного маятника.

11. Період коливань математичного маятника

Величина, яка стоїть під знаком cos чи sin, визначає стан коливної системи в будь-який момент часу, називається фазою,

Фаза повторюється через 2π радіан, а в часі це повторення відбувається через період (Т), тобто 3 цієї залежності визначимо формулу для визначення періоду коливань математичного маятника.

– період коливань математичного маятника або формула Гюйгенса. Період коливань математичного маятника пропорційний його дов­жині і обернено пропорційний до прискорення вільного падіння.

Якщо математичний маятник рухається вертикально з прискоренням а, то період визначається за формулою: , « + » – при русі вверх, «-» – вниз.

12. Пружинний маятник

Тіло, закріплене на пружині може здійснювати коливання, називається пружинним маятником.

Рух пружинного маятника відбуваєть­ся під дією сили пружності яка надає кульці прискорення.

– залежність проекції прискорення, з яким коливається пружин­ ний маятник, від зміщення називається рівнянням, яке описує коливання пружинного маятника – проекція прискорення, з яким коливається тіло на пружині, прямо пропорційна зміщен­ню, взятому з протилежним знаком. Це рівняння аналогічне до рівняння, яке описує коливання математичного маятника. Розв'язком цього рівнян­ня буде функція sin або cos. Це означає, що під час коливань пружинного маятника координата (зміщення) змінюється в часі за законом sin або cos – тобто гармонічно.

- рівняння гармонічних коливань тіла на пружині від максимального зміщення.

- рівняння гармонічних коливань тіла на пружині від положення рівноваги.

Періодичні зміни фізичної величини за законом sin або cos називаються гармонічними коливаннями.

Відповідно взявши першу похідну від рівняння механічних коливань тіла на пружині, найдемо залежність проекції швидкості від часу, взявши другу похідну, знайдемо залежність проекції прискорення від часу пружинного маятника.