Перечень типовых задач по теме «Система аксиом Гильберта»
Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по теме «Система аксиом Гильберта».
Пользуясь аксиомами Гильберта, доказать следующие утверждения:
Две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Плоскость и не лежащая в ней прямая имеют не более одной общей точки.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.
Если прямая на плоскости пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если каждая из двух прямых на плоскости параллельна третьей, то они параллельны между собой.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то они параллельны между собой.
Если точка М принадлежит отрезку [AB]
,
то отрезки [АМ]
и [МВ]
не имеют других общих точек, кроме точки
М.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Перечень типовых задач по теме «Решение задач на плоскости Лобачевского»
Предварительно необходимо изучить теоретические сведения по темам «Система аксиом планиметрии Лобачевского. Аксиома Лобачевского и следствие из неё», «Параллельные прямые на плоскости Лобачевского и их свойства», «Треугольники и четырёхугольники на плоскости Лобачевского», «Расходящиеся прямые», «Окружность. Орицикл. Эквидистанта».
Доказать, что внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных.
Доказать, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, острый.
Доказать, что вписанный угол меньше половины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказать, что угол, образованный касательной и хордой, больше половины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказать, что в равнобедренном треугольнике с углом при вершине 60º основание больше боковой стороны.
Доказать, что сторона правильного шестиугольника больше радиуса описанной окружности.
Доказать, что катет, лежащий против угла 30º, больше половины гипотенузы.
Дефектом треугольника АВС называется разность
.
Доказать, что если
,
то
.Доказать, что существует прямая, целиком принадлежащая выпуклому углу, отличному от развёрнутого.
Даны две параллельные прямые а и
,
(В
следует за А,
С
следует за В),
− ортогональные проекции точек А,
В
на прямую
.
Доказать, что
<
.Доказать, что в четырёхугольнике Саккери а) боковые стороны принадлежат расходящимся прямым; б) основание и противоположная сторона принадлежат расходящимся прямым.
Доказать, что в двупрямоугольнике основание меньше противоположной стороны.
Доказать, что сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых в направлении параллельности всегда меньше двух прямых углов.
Доказать, что основание и средняя линия треугольника лежат на расходящихся прямых, а длина средней линии меньше половины длины основания.
Доказать, что перпендикуляр, опущенный из середины гипотенузы на какой-либо катет, меньше половины другого катета.
Доказать, что два двупрямоугольника равны, если:
а) равны их основания и две пары боковых сторон;
б) они имеют равные стороны, противоположные основанию, и две пары непрямых углов;
в) боковая сторона, сторона, противолежащая основанию, и угол, заключённый между ними, одного двупрямоугольника соответственно равны боковой стороне, стороне, противолежащей основанию, и углу, заключённому между ними, другого двупрямоугольника.
Доказать, что существует треугольник, около которого нельзя описать окружность, но можно описать орицикл (т.е. все его вершины принадлежат некоторому орициклу).
Доказать, что существует треугольник, около которого нельзя описать окружность, но можно описать эквидистанту.
АВ − общий перпендикуляр двух расходящихся прямых а и b,
,
.
Доказать, что MP
= NQ.