Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Глазовского государственного педагогического института

им. В.Г. Короленко

МАТЕРИАЛЫ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Направление 050100 Педагогическое образование

Профиль Математика и Информатика

1 Курс, 2 семестр

Составитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Л.Т. Крежевских

Глазов 2012

Геометрия

II семестр

Модуль 1: Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат. Прямая линия на плоскости. Основные аффинные и метрические задачи на прямую.

Модуль 2: Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи. Линии второго порядка.

Практические занятия

№ практического занятия	Тема практического занятия
Практическое занятие №1	Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.
Практическое занятие №2	Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Практическое занятие №3	Прямая линия в аффинной системе координат. Основные аффинные задачи на прямую.
Практическое занятие №4	Прямая линия в прямоугольной декартовой системе координат. Основные метрические задачи на прямую.
Контрольная работа №1 по темам модуля 1 (2 часа)
Практическое занятие №5	Плоскость в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.
Практическое занятие №6	Прямая линия в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Основные аффинные и метрические задачи.
Практическое занятие №7	Эллипс. Гипербола. Парабола. Понятие о классификации линий второго порядка.
Контрольная работа №2 по темам модуля 2 (2 часа)

Перечень типовых задач по теме

«Векторы. Линейные операции над векторами.

Базис. Координаты вектора. Аффинная и прямоугольная

декартова системы координат»

Предварительно необходимо:

● изучить §§ 1−5, 10, 11 по электронным текстам и по конспектам лекций по аналитической геометрии;

● выполнить в тетрадях для практических занятий следующие практические задания из методического пособия «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»: занятие 5, №№ I.1 – I.23; занятие 6, №№ I.1 – I.12; занятие 8, №№ I.1 – I. 3, I.5 – I. 16;

● ознакомиться с решениями задач: занятие 5, №№ II.1 − II.4; занятие 6, №№ II.1 − II.4; занятие 8, №№ II.1, II.2, II.4.

Задачи

1. М − точка пересечения медиан АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС. Выразить вектор через векторы и .

2. ABCD − произвольный тетраэдр, Е − середина ребра BD. Выразить вектор через векторы , и .

3. Доказать, что если АА₁ − медиана треугольника АВС, то .

4. Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда .

5. Доказать, что если А, В, С, D, E и F − середины сторон произвольного шестиугольника, то .

6. Доказать векторным методом, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

7. Даны векторы , и . Построить вектор . Рассмотреть два случая: а) ; б) векторы , и попарно неколлинеарны.

8. АВСD − параллелограмм, О − точка пересечения его диагоналей, Е – середина стороны AD. Выразить вектор через векторы и .

9. АВСА₁В₁С₁ − произвольная треугольная призма, Р − середина ребра АА₁. Не выполняя дополнительных построений, найти вектор .

10. Даны три вектора (5; 0), (−6; 1), (−22; 3). Найти координаты вектора в базисе , .

11. Даны векторы (3; −1), (1; −2), (−1; 7). Найти координаты вектора в базисе , .

12. АА₁, ВВ₁, СС₁ − медианы треугольника АВС, М − его центр тяжести (точка пересечения медиан). Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе ; в) в базисе .

13. Р − точка пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти координаты вектора а) в базисе ; б) в базисе .

14. Даны векторы (2; −3), . При каких значениях t будут коллинеарны векторы и ?

15. При каком значении m векторы (4m; 2; 0), (2; m; m + 1) коллинеарны?

16. О − точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Найти: а) координаты точки D в системе координат ; б) координаты точки А в системе координат .

17. Даны три вершины параллелограмма АВСD: А(1; 0), В(2;3), С(3;2). Найти координаты четвёртой вершины и точки О пересечения диагоналей.

18. N − середина отрезка АВ, Р − середина отрезка NB. Найти, в каком отношении а) точка А делит направленный отрезок ; б) точка N делит направленный отрезок .

19. Доказать, что четырёхугольник АВСD является трапецией (а не параллелограммом), и найти длину её средней линии, если А(0; 7; 1), В(2; 10; 2), С(5; 3; 2), D(1; −3; 0).

20. Доказать, что точки А(2; 2), В(−1; 6), С(−5; 3) и D(−2; −1) являются вершинами квадрата.