Тема 1. Механика жидкости и реология крови.

Лекция 1-1. Гидростатическое давление.

Cлайд 1-2

Рассмотрим покоящуюся жидкости, в которой тангенсальные силы отсутствуют, напряжение сводится к одному только статическому давлению. При этом в горизонтальном направлении давление не меняется. Оно зависит только от расположения точки относительно свободной поверхности жидкости в сосуде. Разница между давлением, измеренным на глубине  Н, и давлением у пов-ти прямо пропорциональна  Н.

Принцип Паскаля.

Слайд 1-3.

Пусть два цилиндра с разным диаметром или площадью сечения (А1 и А2) соединены между собой трубкой. Если цилидры открыты в атмосферу , то жидкость установиться на одном уровне .Если же мы установим поршни в этих цилиндрах, то при усилии F1 цилиндре с меньшим радиусом мы получим усилие F2 на другом цилиндре ,которое будет больше в F1 в А2/А1 раз. Соответственно давление Р1=Р2.В противном случае поршни пришли бы в движение. На этом принципе Паскаля основаны все гидравлические усилители и в частности домкраты.

Слайд 1-3 .Принцип Паскаля.

Если положим на поверхности сосуда давление равно атмосферному (Ратм) и выберем уровень H =0 на этой поверхности, то давление в любой точке на уровне h определяется выражением:

Р=Ра + g  h (1-1)

Давление, определяемое этим уравнением, называют гидростатическим.

Данное уравнение служит основой наиболее широко применяемого метода измерения давления. Если два сосуда, наполненные например, газом, соединить с двумя ветвями U –образной трубки, заполненной жидкостью известной плотности, а один конец трубки открыть в атмосферу (второй подключен к замкнутой полости) то уровни жидкости в этих ветвях будут различаться на высоту h.Тогда мы можем прямо получить разность давлений в этих сосудах.

Благодаря такому методу давление обычно измеряют в см.вод.ст или мм.рт.ст (если трубку залить ртутью,а не водой).

1 см вод.ст.=98.1 Н/м²

1 мм.рт.ст= 133.3 Н/м²

Слайд 1-4. Примеры принципа Паскаля - домкраты

Система единиц (SI)

Слайд 1-5.

Как уже говорили, давление Р = сила / площадь

И, если силу выражать в Ньютонах, то давление будет:

1 Ньютон/м² = 1 Паскаль (Ра)

В системе единиц SI давление измеряют в паскалях Па или

Pa =N / m².

Теперь рассмотрим, как преобразовать мм.рт.ст. в другие единицы давления, которые часто используются в литературе.

Чтобы преобразовать мм.рт.ст. в pound/in² (PSI) нужно поделить на 51.7. , а для преобразования в килопаскали (кПа) поделить на 7.5

Уравнения гидродинамики.

Слайд 1-6.

Закон сохранения массы: уравнения неразрывности.

Закон сохранения массы гласит, что масса не может исчезать или появляться - и этот принцип называется принципом сохранения массы

Если обозначим массу втекающей жидкости как ∫ ρ _1n dA ,

А₁

(где v_1n –нормальная скорость к дифференциальной площади в поперечном сечении 1).

а массу вытекающей жидкости как ∫ ρ v_2n dA

А₂

( где v_2n –нормальная скорость к дифференциальной площади в поперечном сечении 2).

То этот принцип требует, чтобы масса жидкости, вытекающая из системы трубок, была равна втекающей массе жидкости

.

V_2n

dA₂

A₂

dV

dA_1n

dA_1n

A₁

V_1n

Слайд 1-6. Баланс сил в потоке жидкости

Принятые допущения

а) v₁ и v₂ постоянны в сечениях 1 и 2 и нормальны к ним.

b) Поток стационарен и объем трубки постоянен во времени.

A₁ v₁ =A₂ v₂ =Q ( константа) (1-2)

Q – объемный расход в (м³/с)

Слайд 1-7. Данный принцип исходит также из несжимаемости воды и крови. Еще одним важным условием является жесткость трубок, по которым течет жидкость.

В случае нежестких трубок, масса втекающая – масса, вытекающая = скорости изменения массы внутри трубки

∫ ρ v_1n dA - ∫ ρ v_2n dA = - ∂/∂t ∫ ρ dV (1-3)

А₁ А_{2 V}

Т.е в растяжимой трубке подобной аорте в каждый момент величина (V₁A₁-V₂A₂) равна скорости увеличения объема между двумя плоскостями.

Скорость v₁ Скорость v₂

Площадь А₁ Площадь А₂

К закону сохранения массы

Если скорости отличаются в сечениях, то

V₁ = 1/ A₁ ∫ v ₁ dA

V₂= 1/ A₂ ∫ v ₂ dA ( 1-4)

Q = A₁ V₁ =A₂ V₂ (1-5)

В случае стационарного потока объемный расход будет одинаков во всех частях даже растяжимой трубки.

Количественной характеристикой течения крови является линейная скорость кровотока, то есть скорость перемещения малого объёма крови, размер которого намного меньше диаметра сосуда.

Д ля интегральной характеристики процесса массопереноса через данное сечение сосуда используют среднее значение линейной скорости , либо среднее значение объёмной скорости (его иногда кратко называют расходом), которые связаны соотношением:

Q =V S (1-6) ,

где – площадь поперечного сечения сосуда.

Из условия непрерывности потока следует, что для участка сосуда без источников и стоков = const, в то время как изменяется обратно пропорционально .

Очевидно, что количество крови, притекающей по артериям к какому – либо органу в единицу времени, в среднем равно количеству крови, оттекающей от него по венам; при этом средняя по сечению скорость кровотока в артериях существенно зависит от времени в течение сердечного цикла, а в венах практически постоянна на том же интервале времени. То есть венозный кровоток является стационарным (не пульсирующим), а артериальный – нестационарным (пульсирующим).

Теорема Бернулли.

Слайд 1-8.

Второй общий принцип механики сплошных сред касается сохранения энергии. Этот принцип можно использовать для получения важного результата, касающегося стационарного потока жидкости в условиях, когда можно пренебречь вязким трением (превращение в тепловую энергию). Обычно эти условия выполняются вдали от границ твердого тела.

И здесь удобно ввести понятие-линия тока-это воображаемая кривая, которая в каждый данный момент направлена так, что в каждой своей точке она параллельна направлению движению среды в этой точке.

Мысленно выделим из стационарного потока трубку, границы которой образованы линиями тока.

Сечение 2, Скорость V₂, давление р₂

Площадь А₂,уровень h _2»

Скорость V₂₁

Сечение 1,

давление р₁

уровень h₁

Cлайд 1-8. К теории Бернулли.

Концы трубки расположены на разных уровнях:

На нижнем конце H=h₁ и поднимается к вернему концу на уровень H=h2 (где скорость течения V2 , а площадь А2).

Применим к этому объему жидкости принцип сохранения энергии:

Увеличение кинетической энергии (от широкой части к узкой) +

Увеличение потенциальной энергии (жидкость течет вверх ) = работе,совершаемой силами давления на концах трубки.

Или в математической форме: величина полного давления Р₁, задается как:

P₁= р₁ + 1/2V₁² + g h ₁ (1-7)

И равна величине полного давления Р₂:

P₂= р₂ + 1/2V₂²+ g h ₂ (1-8)

Таким образом , P- полное давление напора остается постоянной вдоль линии тока (пренебрегая вязкими потерями). Это и есть теорема Бернулли.

Когда жидкость движется в горизонтальном направлении , р падает в тех участках, где возрастает абсолютная вел-на скорости V и наоборот.

Величина g h эквивалентна гидростатическому давлению

,а величину 1/2V ² называют динамическим давлением

Слайды 1-9,1-10. Примеры теоремы Бернулли

Реология крови

Реология это изучение деформации и течение материала. Объект или тело деформируются, если его форма и размер изменяются под воздействием сил. Если степень деформации изменяется постоянно со временем, то тело рассматривается как жидкость. Данная тема посвящена поведению крови при ее течении по сосудам. Основа понимания реологических характеристик крови как жидкости in vivo при нормальных условиях поможет нам определить границы эффектов ненормальных условий потока таких, как влияние стеноза клапанов, стеноза сосудов на форменные элементы крови. Понимание динамики потока в таких устройствах как протезы клапанов сердца, сосудистые протезы и искусственное сердце и влияния условий таких потоков на кровь также поможет нам улучшить конструкции имплантатов. Кроме того, широко используются в медицине и некоторые экстракорпоральные устройства такие, как оксигенатор крови, диализные машины и вспомогательные насосы. Поэтому понимание поведения потока крови в таких устройствах также поможет нам в улучшении конструкций этих устройств так , чтобы минимизировать травму крови и улучшить функционирование этих устройстввы механики жидкостей .

Жидкость или газ деформируются под воздействием сдвиговых напряжений. В покое жидкости не имеют сдвиговых напряжений.

Мы рассматриваем жидкость как сплошную непрерывную среду. В макроскопической шкале характеристики жидкости описываются такими параметрами как плотность, температура, давление и т.д.

Рассмотрим основные свойства жидкости:

• Плотность

• Вязкость

• Поверхностное натяжение

• Сжимаемость

Плотность

 = Масса/Объем (кг/м³)

ρ _воды = 999 кг/м³ при 15^о С

ρ _{воздуха} = 1.22 кг/м³ (при стандартном атмосферном давлении)

ρ_{цельной крови} = 1060 кг/м³ (6% выше, чем воды)

Удельный вес , S = плотность жидкости / плотность воды

Для цельной крови S = 1.06

Понятие вязкости.

Слайд 1-11.

Как мы уже говорили, жидкость может определяться как субстанция, которая постоянно деформируется при воздействии сдвиговых или тангенсальных напряжений. Рассмотрим две параллельные плоскости в поперечном сечении А см ³.

С лайд 1-11.

Тангенсальная сила Р приложена к верней плоскости , как показано на слайде. В результате она будет сдвигать эту плоскость со скоростью u (cм/с) по отношению к нижней плоскости. Слои жидкости, прилегающие к верхней плоскости , будут двигаться с той же скоростью, как и верхняя плоскость, т.к. полагаем, что жидкость не проскальзывает относительно плоскости. Аналогично жидкость, прилегающая к нижней плоскости, останется в покое.

Однако, появляется, как видно, градиент скорости. Сдвиговая сила Р, деленная на площадь А , определяется как сдвиговое напряжение (shear stress) τ .

Градиент скорости определяется как скорость сдвига (rate of shear) γ.

Т.е. γ – есть отношение u/h , где h – расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Скорость сдвига выражается в размерности с^-1 .

В пределе скорость сдвига определяется в пределе как du /dy , как показано на слайде, где y - расстояние перпидикулярное направлению сдвига.

Тангенсальное напряжение во многом аналогично силе трения, которая противодействует относительному перемещению соседних слоев жидкости.

Поэтому, когда жидкость течет над плоской поверхностью и ее более удаленные от стенки слои ,движутся быстрее, чем близлежащие, а тангенсальная составляющая напряжения, действующая между соседними слоями, стремится замедлить движение более быстрых из них и ускорить движение более медленных.

Ньютон назвал это тангенсальное напряжение - “дефектом скольжения“. Теперь это свойство называют вязкостью.

Свойства потока всех жидкостей определяются как зависимость между напряжением сдвига и скоростью сдвига. Жидкости, в которых напряжение сдвига прямо пропорционально скорости сдвига называются Ньютоновскими жидкостями.

τ =μ γ (1-9)

где μ – коэффициент пропорциональности, определяемая как коэффициент вязкости.

Таким образом, вязкость жидкости или внутреннее трение – свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной ее части относительно другой. В свою очередь вязкость жидкости обусловлена, в первую очередь, межмолекулярным взаимодействием (например, силами Ван-дер-Ваальса, ограничивающим подвижность молекул). Наличие вязкости приводит к диссипации энергии внешнего источника, вызывающего движение жидкости, и переходу ее в теплоту.

В определенных диапазонах напряжений и скоростей сдвига кровь является неньютоновской жидкостью, т.к. ее вязкость изменяется в определенных скоростях сдвига. В крупных сосудах кровь можно считать ньютоновской жидкостью и описание ее движения может быть упрощено. Однако в мелких сосудах, где размер элементов крови соизмерим с диаметров сосудов, подобное упрощение невозможно.

Поскольку напряжение, как и давление, равно силе на единицу поверхности, а градиент скорости – величина, обратная времени и измеряемая в с ^–1,то из уравнения следует, что вязкость в системе СИ измеряется в Hcм ^-2 или Па· с (Па=Н· м^-2)

Часто вязкость крови обозначают в Пуазах в честь Пуазейля (1 Пуаз = 0.1 Па· с) или сантиПуазах (1 сПз = 0.01 Пз).

В норме значения динамической вязкости крови лежат в пределах 3-4 сПз.

(Слайд 1-12).Зависимость, выраженная уравнением 1.9, может быть построена в виде графика напряжение сдвига – скорость сдвига

Bingam

пластики

Casson’s

жидкость

Напряжение

Сдвига - τ

(дн/см² )

Жидкость

со степенным

законом

Ньютоновская

жидкость

Пороговое

напряжение

Скорость сдвига - γ (с^-1)

Слайд 1-12

Как видно из графика, ньютоновская жидкость представляется прямой линией, проходящей из начала координат с наклоном μ.К сожалению, все жидкости не следуют этой идеальной линейной зависимости и все они, в общем, классифицируются как неньютоновские жидкости. В этих жидкостях отношение напряжения сдвига к скорости сдвига в любой точке называют кажущейся вязкостью и она может сильно отличаться при разных скоростях сдвига.

Неньютоновские жидкости, описываемые нелинейностью и представленные кривой, выходящей из начала координат можно представить уравнением:

τ =к γ ⁿ (1-10) ,

где n ≠ 1.

Такие жидкости классифицируются как жидкости со степенным законом или power law fluids.Другой класс жидкостей, известные как Bingham пластики, которые сопротивляются деформации при приложении напряжения сдвига, пока оно не превысит пороговое напряжение (yield stress), за которым наблюдается линейная зависимость напряжения сдвига и скорости сдвига (Bingham пластики)

τ = τ_y + μ _b γ (1-11)

где τ_{y –} пороговое напряжение и μ _b – пластическая вязкость.

Жидкости, которые имеют пороговое напряжение и имеют нелинейную зависимость напряжения сдвига-скорости сдвига , называют Casson’s жидкостями.

Наилучшее эмпирическое выражение, описывающее такие жидкости и известное как уравнение Casson’s , приведено ниже

τ

= τ _у + k c γ (1-12)

Как указывалось ранее важно знание реологических свойств крови является, чрезвычайно важным для конструирования устройств, по которым протекает кровь. Для того чтобы понимать зависимость между напряжением сдвига и скоростью сдвига для крови, необходимо провести некоторые экспериментальные измерения.

Но об этом поговорим немного позже.

А сейчас отметим также, что вязкость жидкости сильно зависит от температуры. В целом вязкость жидкости уменьшается с увеличением температуры, в то время как вязкость газов увеличивается с ростом температуры.

Уравнение движения жидкости.

Слайд 1-13.

Теперь с учетом предыдущего сформулируем уравнение движения жидкости. Согласно второму закону Ньютона:

ускорения элемента жидкости  масса = сумме напряжений и массовых сил

Н

V(Н) p₁ Н Напряжение

So + S

Р Н Р

Вес

So