Касательные к линии второго порядка

Напомним: точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии , если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Обсудить:

1. Назовите линии второго порядка, которые а) не имеют особых точек; б) имеют только одну особую точку; в) имеют более одной особой точки.

2. Как, зная уравнение линии второго порядка, найти координаты особой точки?

Определение. Касательной к линии второго порядка в обыкновенной точке , называется прямая, пересекающая линию в двух совпавших точках, либо целиком содержащаяся в ней.

Обсудить:

Почему касательная определяется только в обыкновенной точке?

Ответ: Что считать касательной в точке, являющейся пересечением двух прямых? Нет однозначности, таких «касательных» будет бесконечно много.

Теорема. В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением (1), то касательная в точке имеет уравнение (3)

.

ЗАДАЧИ.

5. . Составить уравнение той касательной к линии , которая проходит через точку N(3, 4).

Указание. Запишите уравнение касательной в общем виде, а затем используйте два факта: 1) касательная проходит через точку N;

2) точка касания принадлежит линии .

Получим квадратное уравнение, решив которое находим одну из координат (например, ) точек касания. Учитывая, что точка касания принадлежит линии , находим вторые координаты.

Домашнее задание. [1] Атанасян Л.С., Атанасян. Сборник задач по геометрии. Часть 1. №927\а, 928, 914.

Асимптотические направления. Асимптоты.

Дана аффинная система координат .

Определение. Направление, определяемое ненулевым вектором называется асимптотическим направлением относительно линии второго порядка, если любая прямая этого направления (то есть параллельная вектору ) либо имеет с линией не более одной общей точки, либо содержится в этой линии.

? Сколько общих точек может быть у линии второго порядка и прямой асимптотического направления относительно этой линии?

В общей теории линий второго порядка доказывается, что если

, то ненулевой вектор ( задаёт асимптотическое направление относительно линии

(4)

(общий критерий асимптотического направления).

Для линий второго порядка

если , то нет асимптотических направлений,

если то существует два асимптотических направления,

если то существует только одно асимптотическое направление.

Полезной оказывается следующая лемма (критерий асимптотического направления линии параболического типа).

Лемма. Пусть - линия параболического типа.

Ненулевой вектор имеет асимптотическое направление

относительно . (5)

(Задача. Доказать лемму.)

Определение. Прямая асимптотического направления называется асимптотой линии второго порядка, если эта прямая либо не пересекается с , либо содержится в ней.

Теорема. Если имеет асимптотическое направление относительно , то асимптота, параллельная вектору , определяется уравнением

. (6)

Заполняем таблицу.

ЗАДАЧИ.

1. Найти векторы асимптотических направлений для следующих линий второго порядка:

а) .

Решение.

4 - гиперболического типа два асимптотических направления.

Воспользуемся критерием асимптотического направления:

имеет асимптотическое направление относительно данной линии 4 .

Если =0, то =0, то есть - нулевой. Тогда Поделим на Получаем квадратное уравнение: , где t = . Решаем это квадратное уравнение и находим два решения: t = 4 и t = 1. Тогда асимптотические направления линии .

б) ;

в) .

(Можно рассмотреть два способа, так как линия – параболического типа.)

2. Выясните, имеют ли оси координат асимптотические направления относительно линий второго порядка:

а) ;

б) ;

в)

3. Напишите общее уравнение линии второго порядка, для которой

а) ось абсцисс имеет асимптотическое направление;

б) Обе оси координат имеют асимптотические направления;

в) оси координат имеют асимптотические направления и О – центр линии.

4. Напишите уравнения асимптот для линий:

а) ;

б) .

5. Докажите, что если линия второго порядка имеет две непараллельные асимптоты, то их точка пересечения является центром данной линии.

Указание: Так как есть две непараллельные асимптоты, то существует два асимптотических направления, тогда , а, значит, линия – центральная.

Запишите уравнения асимптот в общем виде и систему для нахождения центра. Всё очевидно.

6.(№920) Напишите уравнение гиперболы, проходящей через точку А(0, -5) и имеющей асимптоты х – 1 = 0 и 2х – y + 1 = 0.

Указание. Воспользуйтесь утверждением предыдущей задачи.

Домашнее задание. [1], №915(в,д,е), №916 (в,г,д), №920

Силаев, Тимошенко. Практические задания по геометрии,

1 семестр. С.67, вопросы 1-8, с.70, вопросы 1-3 (устно).