Интерполирование алгебраическими многочленами

Пусть на отрезке заданы точки (будем называть их узлами интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени

, (1)

значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках.

Для любой непрерывной функции сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов получаем систему линейных уравнений

(2)

Если среди нет совпадающих, то определитель системы (1.2) отличен от нуля, и следовательно система имеет единственное решение.

Определение Многочлен , удовлетворяющий условию

(3)

называется интерполяционным многочленом для функции , построенным по узлам .

Решение системы (1.2) можно записать различным образом. Наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

(4)

Интерполяционная формула Ньютона позволяет выразить интерполяционный многочлен через значения в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам .

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

, (5)

где - разделенные разности.

Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполирования увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.

_{(Дополнительно!) Разделенные разности}

Пусть имеется табулированная функция  . Введем понятие разделенной разности.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями самой функции.

Разделенные разности второго порядка

  и т.д.

Разделенные разности  - го порядка :

 (14)

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Аппроксимация – приближение.

Разностная схема – совокупность разностных уравнений аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения. Используется для решения ДУ 1-го и 2-го порядка, а также уравнений в частных производных.

Метод прогонки – метод решения системы линейных уравнений с трех диагональной матрицей (не нулевые значения стоят по диагонали, под и над ней). Встречается в дифференциальных уравнениях 2-го порядка.

Решаем краевую задачу (граничные условия) (2.11) и (2.12). Заменяем дифференциальное уравнение разностной схемой, которая представляет собой линейную систему с трех диагональной матрицей. Метод прогонки используется в уравнениях мат. физики – заменяем, строим разностную схему с трех диагональной матрицей. Решение системы представляется в виде (2.14) и (2.15)

Рассмотрим систему линейных уравнений

Это система с трехдиагональной матрицей размерности .

Для решения систем такого вида используется метод исключения неизвестных, называемый методом прогонки.

Пусть имеет место соотношение

(2.13)

с неопределенными коэффициентами

Подставим в (2.10), получаем

Сравнивая это тождество с (2.13), находим

(2.14)

(2.15)

Из (2.13) при i = 0 и (2.11) получаем

(2.16)

Зная и переходя от i к i+1 в формулах (2.14) и (2.15) можно определить для . Вычисление по формуле (2.13) ведутся путем перехода от i+1 к i (т.е. зная можно найти ) и для начала этих вычислений необходимо знать . Определим из (2.12) и (2.13) при i = n-1

(2.17)

Т.о., решение системы (2.10) – (2.12) методом прогонки, осуществляется по следующим формулам: Прямой ход:

Обратный ход:

Просто полезность)

Интерполяция - приближение функции кривой, проходящей через все N точек. Основной недостаток интерполяционных алгоритмов в том, что при изменении значения функции в одной точке необходимо полностью пересчитать интерполяционные формулы.

Аппроксимация - приближение кривой, не обязательно проходящей через все точки. 

Корпоративные ИС

Маслобоев А.В.

Принципы организации и функционирования управляющих информационно-вычислительных систем

Структура УВК

Главная особенность – решаются задачи реального времени

И М – исполняющий механизм, ТП – технологический процесс, D – датчик, УСО – устройство связи с объектом.

На базе УВК строят АСУТП:

АРМ - автоматизированное рабочее место.

Пр.К - промышленный контроллер.

Серверы – для хранения данных.

Иерархия систем и технологий автоматизированного управления производством.

0-вой уровень: датчики, ИМ.

1-ый уровень: непосредственное управление

2-ой уровень: диспетчерское управление ТП – наблюдение за ТП в реальном времени. SCADA – системы.

3-ий уровень: управление производством (цехом), упорядоченная обработка первичной информации и передача ее на верхний уровень. SCADA – системы.

4-ый уровень: планирование ресурсов предприятия – методы использования ERP, MRP, CALS.

C 0 уровня по 3-тий это АСУТП (авт-я с-ма управления технол. процессом), а 4-ый – АСУП (АСУ предприятием).

ERP, MRP это методы планирования снабжения. CALS методическая основа для совершенствования деятельности предприятия. У нас ее называют ИПИ – информационная поддержка жизненного цикла изделия.

CALS-идеология: 1.представление, обработка, обмен и управление данными в электрон. виде. 2.многократное использование данных с минимальными изменениями и затратами. 3.оптимизация и унификация способов представления, обработки и передачи данных об изделии, процессах, среде. 4.интеграция и оптимизация инф-го взаимодействия всех участников жизненного цикла изделия.

SCADA системы – система сбора данных и оперативного диспетчерского управления, функционирующая в составе АСУТП.

Назначения: 1. Сбор данных. 2. Инструмент для быстрого проектирования специфических автоматизированных рабочих мест.

Функции: 1. Отображение объектов и анимация. 2. Обработка особых состояний. 3. Протоколирование и графики. 4. Управление переменными. 5. Реализация алгоритмов автоматического управления технологическими процессами. 6. Управление вводом/выводом, управление доступом к системе.

Технологии построения распределенных вычислительных систем (RPC, COM, CORBA).

Концепция распределенных вычислений – разделение ресурсов при выполнении к/либо задачи в сети. Мех-зм удаленного вызова процедур или RPC предназн. для создания распре-х приложений. Суть: часть программы выполняется на одном узле, часть – на другом. З-ча - сделать технологию т.о., чтобы вызов удал. проц. выглядел как локальный вызов. Примитивы службы реал-ся как семейство удал-х проц-р. Удаленное взаимод-е определяется в декларации интерфейса – это набор только определений процедур удаленной службы. Для вызова к имени нужен список парам-в и тип рез-та- это декларация инт-са. Исполнитель объявляет инф-ю об услугах, а user исп-ет эту инф-ю; в ней сод-ся декларация инт-са , имена и парам-ы услуг. Описание инт-са – с пом-ю языка IDL. Характерными чертами вызова локальных процедур являются: 1) Асимметричность, то есть одна из взаимодействующих сторон является инициатором; 2) Синхронность, то есть выполнение вызывающей процедуры приостанавливается с момента выдачи запроса и возобновляется только после возврата из вызываемой процедуры.

Проблемы: 1) разное адресное пространство вызывающей и вызываемой процедуры – проблема именования и связывания – связывание имени процедуры с адресом ее выполнения (В отличие от локального вызова удаленный вызов процедур обязательно использует нижележащую систему связи, однако это не должно быть явно видно ни в определении процедур, ни в самих процедурах); Так как RPC не может рассчитывать на разделяемую память, то это означает, что параметры RPC не должны содержать указателей на ячейки нестековой памяти и что значения параметров должны копироваться с одного компьютера на другой. 2)разные архитектуры машин и разные поддерживаемые типы данных; 3) отказы клиента или сервера (при аварии вызывающей процедуры удаленно вызванные процедуры станут «осиротевшими», а при аварийном завершении удаленных процедур станут «обездоленными родителями» вызывающие процедуры, которые будут безрезультатно ожидать ответа от удаленных процедур.);

Принципы решения проблем:

1) исп-ние общих справочников имен (спец. сервис\каталог, как в RPC и CORBA или сист-й реестр как в COM); 2)единые языки межмашинного представления данных (XDR), 3) маршаллинг – преобраз-е данных к формату XDR(процесс упаковки данных и преобраз-ия их в стандартный вид перед передачей по сети так, чтобы данные могли пройти через сетевые ограничители.); 4)различ. семантики выполнения, как средство минимизации негативного эффекта отказов – введение доп-х пар-ров состояния и диагностики в вызовах процедур;

Объектный вариант RPC – технологии COM,CORBA.

Технология COM заключ-ся в том, что из одного приложения можно получить доступ к методам и интерфейсам объектов, реализованных в др. Основа технологии – интерфейсы. Интерфейс расм-ся как абстрактный класс (содержит только декларацию методов, без реализации). По умолчанию все методы виртуальные, все инт-сы – наследники базового класса IUnKnown. Технология связана с COM-объектами. Один такой объект реализует 1 и > интерфейсов; приложения, реализующие COM-объекты, это COM-серверы – они могут содержать > 1 COM-объекта. С каждым COM-объектом связан генератор класса – спец. объект создающий экземпляры СОМ-объектов. Генератор обслуживает несколько СОМ-объектов. Данные обо всех COM – объектах содержит библиотека типов (инт-сы об-тов, св-ва и методы, кол-во и тип арг-тов каждого метода). У биб-ки типов есть редактор, позволяющий автоматически управлять одним приложением из другого; основное преимущество – автоматический маршаллинг. Библ-ка в сист-м реестре находит прогу, кот реализует класс идент-ров. Технология COM могла бы быть универсальной и платформо-независимой, но закрепилась в основном на операционных системах семейства Microsoft Windows.

Основное отличие техн-и CORBA от COM в том, что это не фирменная вещь. Задача CORBA — осуществить интеграцию изолированных систем, дать возможность программам, написанным на разных языках, работающим на разных узлах сети, взаимодействовать друг с другом так же просто, как если бы они находились в адресном пространстве одного процесса. Основное место – брокер объектной реализации, выполняющий поручения процесса – клиента. Задачи брокера: 1) прием от клиента инф-и о запрашиваемом методе; 2) поиск реализации объекта в распределенной среде; 3) активизация объекта или уничтожение порожденного экземпляра объекта – при необх-ти.; 4) передача экземпляру объекта параметров запроса; 5) получение и передача параметров обратно клиенту. Суть: есть два процесса – клиент и сервер. Взаим –е осущ-ся ч.з. протокол межброкерного взаимодействия IIOP. Его функции: принять рез-т, передать запрос, оповестить клиента об исключ. ситуации. На клиенте инт-с объекта прекомпилируется и т.о. создается код заглушки. На стороне сервера заглушка – это заготовка программы. Связывание осущ-ся ч.з. заглушки; т.о. ссылка в поле клиента связ-ся с целевым объектом. На серверные заглушки возлаг. функции маршаллинга. GIOP - абстрактный протокол в стандарте CORBA, обеспечивающий интероперабельность(способность системы к взаимодействию с другими системами) брокеров.

Основные элементы архитектуры RPC: при вызове процедуры управление передается stub а она передает параметры RPC runtime(ядро), кот. упаковывает параметры, определяет куда их передать. на сервере RPC runtime заталкивает параметры в стек, stub преобразовывает параметры к общему виду и передает их на другую сторону.

Типовые компоненты информационных систем, базовые логические архитектуры ИС.

ИС- комплекс прог, ориентированных на сбор,хранение, поиск и обработку текстовой и/или фактографической инфы.,В осн. Работающих в режиме диалога с пользователем. ИС=3логики +3 сервиса. Сервисы готовые, а логики предмет разработки. Типовые комп-ты – аппаратные сервисы, системное ПО, комп-ты прикладной среды, ПО промежуточного слоя(ср-ва тассировки транзакций), приложения предметной области и логики.

Логические компоненты ИС:

AL – логика доступа. Определяет правила, по которым данные извлекаются из хранилища – набор SQL-запросов. BL – бизнес-логика. Определяет, что делает система с полученными данными, правила, по кот данные обраб-ся. PL – логика представления. Определяет, как данные представляются пользователю. FS – файловый с. - cервис, кот предоставляетя файловой системой. DS – система хранения данных. Реализуется СУБД. PS – аппаратура, которая реализует интерфейс (монитор, принтер). «Толстый» клиент (вся логика у клиента). «+»: низкая нагрузка на сеть. «Тонкий»: м/ обраб-ть данные BL, дополнительно вводят триггеры(хранимые процедуры без пар-ров), кот м/ менять состояние БД при опред усл, или хранимые процедуры(именованная, параметризированая конструкция, опред-ая на языке SQL, или на нек его расширении, компилир-ся на стороне сервера, а выз-ся из прикл-ой проги с указанием пар-ров)- позволяют обр-ть данные на сервере. «+»: т.к. на клиенте минимум ф-ций, то в случае чего менять 1 комп, а не всю ИС.

Однозвенная архитектура «+»:легко администр-ть,дешево,легкое транспортирование. «-»:высокая нагрузка на сервер, плохая масштабируемость (много польз-лей не добавить).

Mногозвенная арх-ра