4.9. Задания для подготовки к контрольной работе
1. Вычислите 2А- 5В, если
Решите систему:
3*. Вычислите определитель:
det =
Раздел 5: Аналитическая геометрия на плоскости
«Я более скажу: и нет
На свете ничего важней, чем линия:
Любой предмет предметом делается с ней.
Беру перо: вмиг создана
Корова росчерком одним.
Я славлю линию! Она живое делает живым»
Е. Винокуров.
Вопросы для самоконтроля:
1.Что изучает аналитическая геометрия?
2. Зачем нужна система координат?
3
.Какие
системы координат вам известны?
4.Опишите декартову систему координат на плоскости.
5.Что представляют собой декартовы координаты точки на плоскости?
6. Запишите формулу вычисления расстояния между двумя точками
плоскости.
7. Чему равны координаты середины отрезка, если известны
координаты концов отрезка?
8. Объясните, что такое уравнение линии на плоскости.
9. Запишите алгоритм вывода уравнения линии на плоскости.
10. Запишите 5 видов уравнения прямой линии на плоскости.
11. Как вычислить угол между двумя прямыми на плоскости?
12. Сформулируйте и запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
13. Назовите кривые 2 порядка.
14. Что называется эллипсом?
15. Выведите каноническое уравнение эллипса.
16. Запишите формулы, связывающие параметры а, в, с эллипса.
17. Что называется эксцентриситетом эллипса? Каким свойством он обладает?
18. Что называется гиперболой? Запишите её каноническое уравнение.
19. Запишите формулы, связывающие параметры а, в, с гиперболы.
20. Сформулируйте свойство эксцентриситета гиперболы.
21. Что называется параболой? Запишите каноническое уравнение параболы.
22. Как связаны канонические уравнения кривых 2 порядка и известные «школьные» уравнения?
5.1. Что изучает аналитическая геометрия?
Элементарная геометрия детально исследует немногие линии - прямая, ломаная, окружность и некоторые другие. Однако потребности жизни ставят общую задачу исследования многочисленных линий, многообразных по форме и по характеру своих свойств. Для решения таких задач используют методы более совершенные, чем те, которыми вооружает нас школьная геометрия. Такие методы дают алгебра и математический анализ.
Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты по их уравнениям.
Чтобы писать уравнения, надо положение точек описать с помощью чисел. Если задан способ, позволяющий это сделать, то говорят, что задана система координат. Такие способы могут быть разными, поэтому и существуют различные системы координат.
Когда мы устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и множеством действительных чисел, мы тем самым делаем геометрически более наглядными и наши представления о числах. В то же время появляется возможность формулировать в геометрических терминах арифметические соотношения.
Например:
3<x<5 _____/////////////////////// ____________
3 х 5
Это удобно и часто используется в математике.
Наиболее употребительны в математике декартова и полярная системы координат.
Декартова система координат названа так по имени французского математика Рене Декарта, предложившего её. Она может быть прямоугольной и косоугольной. Мы используем прямоугольную.
Прямоугольная система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, на которых задано направление и введена единица длины.
Координатами точки на плоскости называется упорядоченная пара чисел, являющихся проекциями точки на оси координат.
Например, M(x;y), N(-2;-4)
х – первая координата, называется абсцисса; у – вторая координата, называется ордината.
Для справки некоторые изученные ранее формулы:
*Другая система координат – полярная – представляет собой:
Точку, называемую полюсом;
Исходящий из этой точки луч, называемый полярной осью;
О – полюс, ОА – полярная ось, М – любая точка плоскости, ρ –расстояние от О до М,
θ – угол, на который надо повернуть полярную ось, чтобы она заняла положение ОМ.
О А
.
Полярные координаты точки М- это пара чисел (ρ; θ), т.е. М(ρ; θ).
Полярные координаты практически полезны тем, что некоторые формулы геометрии, которые в декартовой системе имеют очень громоздкий вид, в полярной записываются просто. Удобство применения разных систем и в том, что переход от одних координат к другим осуществляется несложно, а именно по формулам:
От полярной к декартовой: От декартовой к полярной:
