4.2. Действия с матрицами.

4.2.1. Сложение и вычитание матриц.

Действия с матрицами имеют некоторые особенности. Так, например, если в множестве действительных чисел можно сложить и вычесть любые два числа, то в множестве матриц сложение и вычитание осуществимо не всегда, а только в том случае, если матрицы имеют одинаковый размер.

Пусть А = (а_ij), В = (b_ij) – матрицы одного размера. Тогда

А+В = (аij + bij)

т.е. для того, чтобы сложить две матрицы, надо сложить соответствующие элементы. Аналогично определяется действие вычитания.

Пример:

4.2.2.Умножение матрицы на число.

к*А=(к* аij)

Чтобы умножить матрицу на число , достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пусть А = (а_ij), Тогда

Пример: 5*

Самостоятельно составьте матрицы А и В так, чтобы с ними можно было выполнять сложение

и вычитание. Выполните следующие действия:

4.2.3. Умножение матрицы на матрицу.

Перемножить матрицы можно в том случае, если число столбцов в первой равно числу строк во второй:

А = (а_ij)_m*n В = (b_ij)_n*p

В результате умножения матриц А и В получается матрица размером m*p.

Правило умножения матриц:

Например:

Выполните самостоятельно:

1. Какие из данных матриц можно перемножить? Вычислите возможные произведения.

2. Вычислите А*Е, если:

3. Вычислите: 1) (А*В)*С; 2) А*(В*С). Какой можно сделать вывод?

4. Докажите, что: (А+В)*С=А*С+В*С, если:

Какой можно сделать вывод?

5. Вычислите АВ и ВА :

Какой можно сделать вывод???

Имеют место следующие свойства умножения матриц:

1. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность

2. А (В+С)= АВ+АС

3. (А+В)С =АС+ВС -дистрибутивность

4. (кА)В = к(АВ)

5. ЕА = А; ВЕ = В – где Е – единичная матрица.

6. АВ ≠ ВА – умножение матриц некоммутативно, неперестановочно! В этом отличие действия умножение матриц от умножения чисел.

4.2.4.Действие деление матриц не определено,

выражение не имеет смысла. Отсутствие деления компенсирует обратная матрица, к которой мы вернёмся позже.

4.3. Определители 2 и 3 порядков.

4.3.1. Определители 2 порядка.

Определение:

Определителем 2 порядка называется число, которое обозначается и вычисляется следующим образом:

.

Пример:

Вычислите определители:

Ответы: 1) -46; 2) 6; 3) 45; 4) 0.

4.3.2. Определители 3 порядка.

Определение:

Определителем 3 порядка называется число det =

Чтобы вычислить определитель 3 порядка, надо определитель разложить по любой строке или столбцу, т.е. представить его в виде суммы произведений элементов выбранной строки (столбца) на определитель 2 порядка, который получается из данного после вычёркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Знак между произведениями ставится в соответствии с таблицей

Пример:

Вычислите:

Обратите внимание! Вычислять определитель проще, если раскладывать по строкам или столбцам, содержащим нули (и как можно больше).