Семинары по курсу прикладной статистики.

Семинар 1.

Тема: Описательная статистика. Выборочные характеристики и их свойства. Оценивание параметров распределений. Метод моментов и метод максимального правдоподобия.

Выборка: . Вариационный ряд: . Эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон частот.

Размах выборки:

Выборочные моменты

Выборочное (эмпирическое) среднее:

Центральные выборочные моменты

Выборочная (эмпирическая) смещенная дисперсия

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса:

Оценивание параметров по методу моментов. Оценивание параметров по методу максимального правдоподобия. ( Суть метода моментов и метода максимального правдоподобия объясняется на семинаре, т.к. на лекциях к первому семинару этот материал рассказан не будет, хотя в дальнейшем он будет более подробно рассмотрен на лекции).

Ауд.

Задача 1. Дана выборка:

-0,3

-1,3

0,2

1,3

1,2

1,7

-2,2

-0,2

1,3

-1,1

( )

Выписать вариационный ряд выборки. Построить графики эмпирической функции распределения, гистограммы и полигона частот используя три «кармана» для группировки данных. Найти размах выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса. Согласуются ли результаты расчетов с тем, что это выборка имеет нормальное распределение?

Задача 2. Дана выборка:

	-2	-1	0	2	4
	3	5	6	4	7

Используя формулы и ,

Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию выборки.

( )

Задача 3. По выборке

-0,3

-1,3

0,2

1,3

1,2

1,7

-2,2

-0,2

1,3

-1,1

найти по методу моментов оценки параметров a и b, в предположении, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [a,b].

Задача 4. Выборка имеет экспоненциальное распределение с параметром :

0,3

1,3

0,2

2,4

1,2

1,7

2,2

0,2

1,3

4,2

Найти оценки параметра по методу моментов и по методу максимального правдоподобия.

Задача 5. Случайные величины принимают значения 1 и 0 с вероятностями и соответственно. По выборке

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

найти оценки параметра р по методу моментов и по методу максимального правдоподобия.

Дома: задачи №1-3 из Типового расчета.

КСР 1. Если на семинаре не успеваем решить все задачи, имеет смысл продолжить на КСР. Для задачи 1 ТР найти теоретическую функцию распределения и дать задание подсчитать математическое ожидание длины накрываемого отрезка(можно с помощью любого пакета типа МАТКАД ).

Семинар 2.

Тема: Интервальное оценивание параметров. Доверительные интервалы для параметров нормального и экспоненциального распределений.

Односторонние и симметричный двухсторонний доверительные интервалы.

- уровень доверия

- квантиль нормального распределения

- квантиль распределения Стьюдента с n степенями свободы

- квантиль распределения «хи-квадрат» с n степенями свободы

- квантиль распределения Фишера с n и m степенями свободы

Нормальное(гауссовское) распределение

Доверительные интервалы для среднего.

-известно.

-не известно.

Доверительные интервалы для дисперсии.

-известно.

-неизвестно.

Экспоненциальное распределение

.

Ауд.

Задача 1. Случайные величины имеют нормальное распределение со средним и дисперсией .

		1,9		-1,3		1,6	-1,3		1,4		-0,9		0,8		4,9		3,5		0,4

( )

а) построить доверительный интервал уровня для среднего в предположении, что дисперсия известна;

б) построить доверительный интервал уровня для среднего в предположении, что дисперсия не известна;

в) построить доверительный интервал уровня для дисперсии в предположении, что среднее известно;

г) построить доверительный интервал уровня для дисперсии в предположении, что среднее не известно;

д) найти объем выборки, при котором длина доверительного интервала уровня для параметра будет иметь длину (дисперсия предполагается известной).

Уровень доверия и .

Задача 2. Выборка имеет экспоненциальное распределение с параметром :

0,3

1,3

0,2

2,4

1,2

1,7

2,2

0,2

1,3

4,2

( ).Построить доверительный интервал уровня для параметра . Ответ выразить через квантили гамма распределения и через квантили распределения .

Задача 3. В серии из независимых испытаний с вероятностью успеха наблюдалось успехов. Используя предельную теорему Муавра-Лапласа, построить приближенный доверительный интервал для параметра . Уровень доверия и . При каком объеме выборки длина доверительного интервала будет меньше 0,02?

Задача 4. Выборка имеет неизвестный закон распределения.

4

3

6

3

8

7

3

4

7

4

6

6

4

4

4

7

Используя центральную предельную теорему, построить приближенный доверительный интервал для математического ожидания этого распределения. Уровень доверия . Дать интерпретацию на примере пуассоновского распределения с параметром .

Дома: задачи №4-6 из Типового расчета.