Азимутальные проекции (azimuthal projection)

В азимутальных проекциях математическое соответствие между положением точки на эллипсоиде и на карте устанавливается от точки, в которой плоскость касается эллипсоида. И далее от этой точки берется азимут во все стороны при переводе координат с эллипсоида на карту.

В них параллели (альмукантараты) изображаются концентрическими окружностями, а меридианы (вертикалы) - пучком прямых, исходящих из центра.

Углы между меридианами проекции равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным или другим) или способом проектирования точек земной поверхности на картинную плоскость.

Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их можно рассматривать как частный случай конических проекций, в которых α=1.

Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.

В зависимости от искажений азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. В проекции масштаб длин может сохраняться в точке или вдоль одной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предполагается касательная картинная плоскость, во втором - секущая. В прямых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных - только для поверхности шара.

Рис. 5.2. Азимутальная проекция:

а - принцип построения проекции;

б - вид проекции

Если расстояние между параллелями с удалением от полюса уменьшать, таким образом, чтбы получитьь равновеликую проекцию можно получить проекцию Ламберта.

Проекция Гаусса-Крюгера

Наиболее часто применяют проекицтю Гаусса-Крюгера. В этой проекции выполняют топографические карты наиболее популярных масштабов – 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000. Эти топографические карты являются, в свою очередь, основой для всех тематических работ, проводимых в данном масштабе, например, государственная геологическая карта.

Проекция Гаусса-Крюгера была предложена давно. Она представляет собой равноугольную поперечно-цилиндрическую проекцию.

В этой проекции земная поверхность изображается меридиональными зонами, по шесть градусов каждая. Эти зоны называются зонами. Зоны нумеруются от нулевого меридиана.

мы эти, вырезанные из глобуса, зоны, наклеили на плоский стол таким образом, чтобы они касались друг друга своими самыми широкими участками, то есть теми местами, где на наших дольках изображен экватор. Этот экватор на нашем столе выглядит теперь как прямая линия, вдоль которой наклеены дольки от глобуса. Это и есть изображение нашей карты в проекции Гаусса-Крюгера. Как видите, это не сплошная карта, а что-то вроде расчески, у которой ряд "зубов" от экватора идет верх к северу и такой же ряд вниз к югу. Теперь мы можем ответить на вопрос, по какому меридиану наша цилиндрическая проекция касается эллипсоида. Этот меридиан для каждой зоны свой, называется он осевым меридианом зоны и его легко вычислить, зная номер зоны и то, что ширина каждой из них составляет шесть градусов. Например, осевым меридианом первой зоны является 3-й меридиан.

Математическое соответствие между изображением на глобусе и изображением на столе, или, корректнее, – установить математическое соответствие между точками на эллипсоиде и точками на карте в проекции Гаусса-Крюгера. Естественно, решается это с помощью математических формул, но мы хотели избежать этого языка, поэтому сделаем вот как.

Возьмем кальку и мысленно нарисуем на ней прямоугольную сетку, такую, чтобы линии на ней шли через 1 метр в масштабе глобуса. Повторюсь, что нарисуем мысленно, причем в самой середине этой кальки пусть Ваша мысль нарисует одну линию потолще, ее мы совместим с экватором, а поперек нее вторую такую же линию, ее мы будем совмещать с одним из меридианов. Теперь все наши мысленные линии образуют реальную систему плоских прямоугольных координат, а "линии потолще" - это оси "X" и "Y" этой системы. Здесь уместно будет сказать, что проекция Гаусса-Крюгера устанавливает зависимость между географическими координатами эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами карты. Чтобы "установить" такую зависимость, наложим нашу кальку с километровой сеткой на нашу аппликацию на столе, таким образом, чтобы одна "мысленная линия потолще" легла на экватор, а вторая на нулевой (Гринвичский) меридиан. По экватору у нас будет ось "Y", а по Гринвичу - ось "X". Это выглядит не как в школе, но что делать, так принято…

Таким образом, у нас, можно сказать, установлено соответствие между двумя системами координат – сферическими географическими координатами эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами проекции Гаусса-Крюгера. Однако, строго говоря, это требует некоторых уточнений.

Во-первых, как Вы помните, рассматриваемая проекция является равноугольной. Это значит, что наши зоны надо еще немножечко растянуть "вширь", чтобы соблюсти условие равноугольности проекции. Насколько растянуть – оставим математическим формулам.

Теперь об этом "соответствующем типе". Выше, в заметке про цилиндрические проекции, говорилось про проекцию Меркатора, которая, как и проекция Гаусса-Крюгера, также является цилиндрической и равноугольной. Однако в проекции Меркатора цилиндр касается эллипсоида не по меридиану, а по экватору. В рассматриваемой же проекции Гаусса-Крюгера цилиндр касается эллипсоида по меридиану, то есть поперек экватора, поэтому эту проекцию еще называют поперечной проекцией Меркатора. Именно под этим названием (Transverse Mercator) ее можно встретить в ГИС зарубежного производства.

Уточнение "во-вторых", которое необходимо сделать, касается точек начала координат этой проекции. Дело в том, что Вы можете встретить использование начала координат в трех вариантах. Развлекаясь нашими образами можно сказать, что начало координат на нашей кальке можно совместить так, как мы это сделали – с точкой пересечения экватора и Гринвича и рассчитать координаты проецируемых точек эллипсоида для всех зон, исходя из этого начала координат. Поскольку по таким координатам можно установить, в какой зоне находится объект, такую проекцию называют "проекция Гаусса-Крюгера с учетом номера зоны". Второй вариант - при расчете координат каждой зоны передвигать нашу мысленную кальку так, чтобы ось "X" совпадала с осевым меридианом зоны, для которой рассчитывается проекция. Это приведет к тому, что к западу от осевого меридиана прямоугольные координаты на карте будут отрицательные. Это считается неудобным, поэтому третий вариант расположения начала прямоугольных координат – 500 км к западу от осевого меридиана зоны, для которой производится проецирование. Такое смещение начала координат, называемое "ложным сдвигом", обеспечивает получение положительных значений всех координат "Y" в приделах зоны. Собственно последний вариант и считается проекцией Гаусса-Крюгера.

Таким образом, при пересчете проекций или настройке отображения карты в ГИС Вам может потребоваться установка вида проекции (Transverse Mercator), осевого меридиана зоны и ложного сдвига начала координат.