9.Резонанс напряжений

Рассмотрим важный частный случай X_L = X_C

ωL = 1/ωC  ω₀ = 1/(LC)^1/2

_{Достигается: в лаб. раб. №4 изменением С, в лаб. раб. № 5 изменением L}

1 . Х = Х_L – Х_C = 0 - реактивное сопротивление равно нулю

2. Z = R - сопротивление цепи чисто активное

3. U_L = IX_L = IХ_С = U_C

4. U = IZ = IR = U_R

5. tqφ = X/R = 0 → φ = 0

6. U_L/U = IX_L/IR = IX_c/IR = U_c/U

Если Х_L = Х_C > R → U_L = U_C > U - Напряжение на участках цепи больше приложенного в Х_L/R раз – резонанс напряжений.

Вред: пробивает изоляцию.

Польза: отсутствие реактивной нагрузки cosφ = 1.

Происходит усиление слабого сигнала, используется в радиотехнике.

10. Разветвленная цепь переменного тока

Приложено: u = U_msinωt (1) Известно R, L, C

Найти: i = I_msin(ωt + φ), (2) т.е. I_m и φ

Токи в ветвях можно рассчитать по закону Ома:

I_С = U/X_c = ωCU, (3) I_k = U/(R² + (ωL)²) ^1/2 (4)

Суммарный ток i = i_k + i_c  Ī = Ī_k + Ī_c

Для построения вектора Ī_k найдем φ_k

tgφ_k = X_L/R  φ_k = arctg ωL/R (5)

а) если известны значения всех токов (как в лабораторной работе № 4) ВД строится без расчета φ_k с помощью циркуля.

Из ВД можно найти I_m и φ с помощью линейки и транспортира.

б) φ > 0 емкостной характер нагрузки, φ < 0 индуктивный, φ = 0 активный.

Можно найти I_m и φ аналитически, т.е. рассчитать по формуле.

Р азложить Ī на активный ток Ī_a и реактивный Ī_p. Вектора Ī, Ī_a, Ī_p образуют Δ токов, из которой I = [I_p² + I_а²]^1/2 (6)

Разложим Ī_k на активный Ī_ak и индуктивный Ī_L токи в катушке.

Ī_k = Ī_ak + Ī_L, ясно что I_a = I_ak (7)

(8) I_ak = I_k cosφ_k = I_a; I_L = I_k sinφ_k

(9) I_p = I_c – I_L = I_c – I_k sinφ_k

(8),(9)  (6) с учетом (7):

I = [(I_c – I_k sinφ_k)² + I_к² cos²φ_k] ^1/2 (10)

φ = arctg (I_c – I_k sinφ_k)/ (I_k cosφ_k) (11)

I_c и I_k рассчитывается по (3) и (4), а φ_k определяется по фор. (5)

Определены I_m и φ в формуле (2).

Разделим векторы токов на U, получим вектор проводимостей.

При расчете параллельных цепей и разветвлений, удобнее пользоваться треугольником проводимости.

11.Резонанс токов

Рассмотрим важный частный случай I_c = I_L (но не I_с = I_k)

Следствия

1. I_p = I_с – I_L = 0 нагрузка цепи активная (Ī_p = Ī_c + Ī_L)

2. I = I_a Z = R

3. tgφ = I_p/I_a = 0  φ = 0

4. I = U/Z = U/R; I_c = U/X_c  I_c/I = (U/X_c)/(U/R) = R/X_c

Е сли X_c < R  I_c = I_L > I – ток в ветвях больше общего тока – резонанс токов

Используется: 1) для повышения cosφ сопротивления путем придания цепи чисто активного сопротивления.

2) в радиотехнике для усиления сигналов

Условие резонанса, выражается через параметры цепи:

I_L = I_с  L/C = ρ² = R² + (ωL)²  ω_рез = [(1/LC – (R/ LC)²)] ^1/2 = [(ω₀² – (R/ LC)²)]^1/2

При R << ω₀L : ω_рез = 1/(LC) (2)^1/2. Что совпадает с условием резонанса напряжений

ω _p = 1/(LC) ^1/2 [1 – R²/4C] ^1/2 = 1/(LC) ^1/2 [LC – R²/LC] ^1/2

13