6. Индуктивность в цепи переменного тока

Приложено u = U_msinωt (1), известно L.

Найдем ток i = I_msin(ωt + α₀); т.е. I_m и α₀

По второму правилу Кирхгофа: u + e_L = 0 (5)

( 6) e_L = -dФ/dt = - L di/dt – закон электромагнитной индукции.

(6)(5) u - L di/dt = 0  di/dt = u/L = U_m/L sinωt

после интегрирования:

i = (U_m/ωL) cosωt = I_m sin(ωt – π /2) (7)

α₀ = - π/2 Ток отстает по фазе от напряжения на π /2. Построим ВД.

I_m = U_m/(ωL)

I_m/(2)^1/2 = U_m/(ωL(2)^1/2)  I = U/ωL

ωL = X_L – индуктивное сопротивление

I = U/X_L - закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью. Мгновенная мощность:

p = iu = I_mU_msinωt sin (ωt - π /2) = - IU sin 2ωt

Средняя мощность за период: p = 0

Синусоида тока сдвинута на π /2 или на T/4 к концу оси.

В нечетных четвертях p < 0, энергия возвращается из катушки в источник.

В четных четвертях p > 0, энергия передается в катушку.

Средняя мощность за период P_ср = 0

7 .Неразветвленная цепь переменного тока

(Последовательное соединение R,L,C)

П режняя формулировка задачи:

приложено синусоидальное напряжение и найти ток.

Изменим формулировку задачи:

Синусоидальное напряжение вызывает в линейной цепи синусоидальный ток и наоборот.

Дано: i = I_msin(ωt); известны R, L, C.

Необходимо найти u = U_msin(ωt+ φ ) (1); т.е. U_m и φ

u = u_R + u_c + u_L (2) второе правило Кирхгофа

u_R = iR = U_mr sinωt, U_mR = I_mR;

u_c = iX_c= U_mcsin(ωt - π/2), U_mc = I_m 1/ωC;

u_L= iX_L = U_mL sin(ωt + π /2), U_mL = I_m ωL;

Н айти U по (2) трудно и не точно, поэтому используем МВД, т.е. запишем (2) в векторном форме:

Ū = Ū_R + Ū_c + Ū_L (2’)

Для определения Ū построим векторную диаграмму напряжений

В качестве основного вектора выберем Ī.

Векторы Ū_R ,Ū и (Ū_c + Ū_L) образуют треугольник напряжений.

Из треугольника напряжений U_m = (U²_mR + (U_mL - U_mc)²) ^1/2 (3)

Для определения начальной фазы φ и полного сопротивления цепи Z разделим векторы треугольника напряжений на ток I, получим треугольник сопротивлений.

U_R/I = R, (U_L – U_c )/I = U_L/I – U_c/I = X_L – X_c = X - реактивное сопротивление.

U/I = Z - полное сопротивление.

И з треугольника сопротивлений:

Z = (R² + x²)^1/2 = (R²+ (X_L-X_c)²)^1/2= (R² + (ωL–1/ ωC)²)^1/2 (4)

Закон Ома для последовательной цепи:

I= U/Z = U/ (R² + (ωL – 1/ ωc)²)^1/2

tgφ = X/R = (ωL – 1/ ωC)/R; φ = arctg (ωL – 1/ ωc)/R (5)

В формуле u = U_m sin (ωt + φ) все известно.

8. Активная, реактивная и полная мощность

У множим вектора треугольника напряжений на ток I.

U_R*I = P – активная мощность S Q

(U_L – U_C) *I = Q – реактивная

U *I = S – полная

Получили треугольник мощностей

; Р

Рассчитаем активную мощность как среднюю за период:

P – измеряется в ваттах. Её значения показывают ваттметры. Соответствует той части электрической энергии, которая превращается в другие виды энергии в потребителя и не возвращается в источник.

Q – измеряется в ВАр и кВАр, соответствует электрической энергии, которая возвращается в источник.

S– измеряется в ВА и кВА. Указывается в паспорте двигателей.

– коэффициент мощности.

Интересно, что (но –мгн. знач. мощности).