Пассивный rc фильтр низких частот первого порядка
В качестве примера расчёта АЧХ и ФЧХ проведем анализ простейшей частотозависимой пассивной линейной схемы (т.е. пассивного фильтра), представленной на рис. 2а. Эту схему называют интегрирующей RC цепочкой, что следует из решения уравнения Кирхгофа для оригинала схемы (во временнòй области):
, (1.1)
откуда после интегрирования
(1.2)
Определим характеристики схемы в частотной области, пользуясь методом преобразования Лапласа.
Напомним известную из курса теоретической электротехники передаточную функцию пассивного RC фильтра в стационарном состоянии. Для ее получения используем законы Кирхгофа, справедливые как для оригиналов, так и для изображений напряжений и токов.
Очевидно, что
,
т.е.
(1.3)
Передаточная функция схемы равна
. (1.4)
Здесь
– действительный полюс передаточной
функции;
– частота действительного полюса.
Для
стационарного состояния
,
поэтому
. (1.5)
Модуль
выражения (1.5) определяет зависимость
от частоты модуля передаточной функции
(1.5) напряжения рассматриваемого фильтра
с входа in
на выход out:
. (1.6)
Рис. 2 – Пассивный RC фильтр низких частот первого порядка: a – электрическая схема; b – зависимость коэффициента передачи от частоты (амплитудно-частотная характеристика – АЧХ); с – зависимость сдвига фазы между входным и выходным сигналами от частоты (фазо-частотная характеристика – ФЧХ)
Сдвиг фазы
между напряжениями
и
определяется выражением:
(1.7)
На малых частотах,
при которых круговая частота сигнала
много меньше собственной круговой
частоты полюса передаточной функции,
т.е.
,
при этом выражение для
значительно упрощается и аппроксимируется
выражением:
(1.8)
На высоких частотах,
при которых круговая частота сигнала
много больше собственной круговой
частоты полюса передаточной функции,
т.е.
,
выражение для
также упрощается, и соответствующая
аппроксимация имеет вид:
(1.9а)
Иллюстрации точных
и аппроксимированных зависимостей от
частоты коэффициента передачи
и разности фаз
между входным и выходным сигналами
представлены на рис. 1(b)
и 1(с)
соответственно. На рисунке кроме точной
АЧХ («жирная» линия) приведен общепринятый
вид упрощённой АЧХ (тонкая линия),
аппроксимирующая точную АЧХ не только
при
и
,
но и просто
при
и
.
Упрощённый вид АЧХ удобен потому, что
её излом
приходится на круговую частоту полюса,
являющуюся главной характеристикой
любого фильтра, в том числе и рассматриваемого
простейшего.
Выше эффект уменьшения модуля коэффициента передачи сигнала от входа к выходу формально обосновывается выражением (1.6), однако это необходимо уметь объяснить также с помощью полукачественных рассуждений, выказывая понимание физической сути проблемы. Приведём вариант рассуждений.
Перезарядка входным
сигналом конденсатора С
производится через резистор
с постоянной времени
током величины
.
Выходное напряжение
равно
разности входного напряжения
и напряжения
на резисторе
:
.
Поскольку ток
в резисторе является током
,
заряжающим только
конденсатор
,
то
,
и
.
Пусть
(здесь
- частота выходного сигнала, равная
частоте входного сигнала, а
- амплитуда выходного сигнала). В этом
случае
,
и
Если величина постоянна, то при увеличении частоты входного сигнала выходной сигнал монотонно уменьшается.
Обобщая полученный результат отметим, что если ток перезарядки емкости как внутри функционального элемента, так и на его выходе, ограничена каким-либо компонентом (резистором, транзистором, индуктивностью), то при увеличении частоты входного сигнала коэффициент передачи элемента на выход уменьшается!