Тема 3. Кинематика и динамика вращательного движения.

Угловое перемещение – псевдовектор, численно равный углу поворота радиус-вектора точки за время Δt и направленный по направлению поступательного движения правого винта, если вращение ручки винта совпадает с направлением движения точки.

Угловая скорость . Угловое ускорение .

Линейная скорость связана с угловой скоростью .

При равномерном вращении вводят следующие характеристики : период – время Т полного оборота, частота – количество оборотов в единицу времени . Угловое перемещение за период , тогда угловую скорость ω называют: циклическая частота и .

Момент силы относительно т.О – псевдовектор , модуль которого , здесь r – радиус вектор точки приложения силы F, α – угол между радиус-вектором точки приложения силы и направлением силы. Направление момента силы: перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора по правилу правого винта (при совмещении начала против часовой стрелки поступательное движение винта покажет направление ).

Момент импульса материальной точки – псевдовектор , модуль которого , здесь – радиус-вектор материальной точки. Направление момента импульса: перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора по правилу правого винта.

Основное уравнение динамики вращательного движения (закон изменения момента импульса) системы материальных точек , где – момент импульса системы материальных точек или твердого тела, – главный вектор момента внешних сил.

Закон сохранения момента импульса системы материальных точек: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

Закон является следствием изотропности пространства: при повороте в нем замкнутой системы как целого физические свойства замкнутой системы и законы её движения не изменяются.

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки , где –радиус круговой траектории точки. Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения Момент инерции твердого тела – величина, зависящая не только от массы и формы тела, а и от распределения массы вокруг оси вращения.

Теорема Штейнера – момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а² между осями J = J_c+ma² _.

кольцо	mR2
диск	1/2 mR2
шар	2/5 mR2
стержень	1/12 ml2

Момент инерции тел правильной формы относительно центра инерции:

Момент импульса тела относительно оси: , где – момент инерции тела, относительно той же оси z, ω – угловая скорость вращения.

Основное уравнение вращательного движения твердого тела относительно оси: (если момент инерции тела не меняется со временем).

С учетом последнего уравнения закон сохранения момента импульса применительно к задачам имеет вид

,

где – моменты инерции составных частей системы, которые вращаются со скоростью ω_i.

При свободном вращении тела ось вращения устанавливается так, что проходит через центр инерции и момент инерции относительно этой оси имеет максимальное или минимальное значение.

Задачи на определения.

Задача 1. Материальная точка движется по окружности постоянного радиуса R = 0,2 м так, что её радиус-вектор с некоторым направлением образует угол, меняющийся со временем по закону а) φ = 2t + 0,1 t³ , рад; б) φ = 5t – 0,4 t² , рад.

Найти: