III зачетный раздел Тригонометрические уравнения п. 20. Методы решения тригонометрических уравнений

Заметим, что каково бы ни было заданное тригонометрическое уравнение, существует только четыре вида уравнений, дающие решения – это простейшие тригонометрические уравнения, см. п.14.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений, позволяющие сводить их к простейшим.

1. Упрощение уравнения, используя тригонометрические формулы.

Пример 1. Решите уравнение:

Преобразуем выражение и воспользуемся формулой (3) п. 16.

— простейшее тригонометрическое урвнение

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение:

Используем Формулы приведения п. 17

Пример 3. Решите уравнение:

Применим формулу (1) п. 18

Пример 4. Решите уравнение:

Ответ: ; .

Пример 5. Решите уравнение:

Используя формулы приведения (п. 17),

заменим :

Применим формулу (1) п.18,

представим выражение в виде произведения:

Ответ:

Пример 6. Решите уравнение:

Используя формулу (1) п. 6, заменим на 1.

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение:

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получились формулы: суммы и двойного аргумента.

Вынеся общим множителем,

получим два простейших уравнения:

Ответ: ; .

II. Метод введения новой переменной

Очень часто тригонометрическое уравнение по внешнему виду напоминает квадратное уравнение. Выполнив в уравнении соответствующую замену переменной, можно легко найти его решение.

Пример 8. Решите уравнение:

Замена

Обратная замена:

Ответ: ; .

В некоторых уравнениях требуется сделать дополнительное преобразование, чтобы уравнение свелось к квадратному:

Пример 9. Решите уравнение:

Заменим, используя формулу (1) п. 6,

Замена:

Решив уравнение, найдем

Обратная замена:

- уравнение не имеет решения,

т.к.

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение:

Заменим , и выполним домножение обеих частей

уравнения на . Учитывая, что , имеем:

Замена:

.

Обратная замена:

Ответ: ; .

III. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения разделяются на два вида:

- однородное уравнение первой степени;

- однородное уравнение второй степени.

Разделив обе части уравнения а) на cosx; б) на , с учетом, что , получим уравнения:

- простейшее;

- квадратное.

Рассмотрим несколько решений однородных уравнений:

Пример 11. Решите уравнение:

Ответ: .

Пример 12. Решите уравнение:

Решив это уравнение, получим:

Ответ: ; .

Если в однородном уравнении второй степени присутствует свободный член , то его можно заменить: .

Пример 13. Решите уравнение:

,

откуда ,

т.е.

Ответ: ; .

Пример 14. Решите систему уравнений:

Из первого уравнения системы находим .

Тогда второе уравнение системы примет вид: .

Упростим правую часть уравнения:

Таким образом, уравнение примет вид ,

откуда или

Так как

Ответ:

Существует еще несколько способов решения тригонометрических уравнений, которые при необходимости можно найти в справочниках по математике.

Рассмотренные в данном пункте методы решения тригонометрических уравнений являются базовыми и обязательны к изучению.

№ 53. Решите уравнение:

№ 54*. Решите уравнение и найдите сумму его решений на отрезке

№ 55*. Найдите (в градусах) все решения уравнения , удовлетворяющие условию .

№ 56. Решите уравнение:

№ 57. Решите уравнение:

№ 58*. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку .

№ 59*. Упростите выражение и укажите х, при которых его значение равно

№ 60. Решите уравнение:

№ 61*. Найдите все решения уравнения , лежащие в интервале

№ 62. Решите уравнение

; ;

;

№ 63. Укажите наименьшее положительное число х, при котором:

;

;

в) значение выражения равно ;

г) значение выражения равно 0,5.

№ 64. Решите уравнение:

№ 65. Решите уравнение:

№ 66. Решите уравнение:

№ 67. Решите систему уравнений:

№ 68*. Найдите все решения уравнения, принадлежащие заданному отрезку:

№ 69*. Решите уравнение:

Урок одного уравнения: sin x + cos x = 1

Данный подпункт дает представление о наиболее часто встречающихся способах решения тригонометрических уравнений, а также о том, что для тригонометрических уравнений, кром5ке простейших, существует несколько приемов, одновременно позволяющих достичь правильного результата.

I способ. Введение вспомогательного угла.

Изобразим полученное множество решений на единичной окружности и выпишем конечный результат в более компактном виде (это достигается не всегда, но хотя бы черновую проверку делать нужно):

Очевидно, что в дальнейшем будут получаться только две серии решений и .

Ответ: .

II способ. Замена sinx и cosx через tg .

Следует учесть, что при переходе к , т.е. .

Таким образом, заданное уравнение примет вид:

+

Ответ: .

III способ. Сведение к однородному уравнению.

Выразим sinx, сosx и 1 через формулы половинного аргумента:

Имеем:

Ответ: .

IV способ. Преобразование суммы в произведение.

Используя формулы приведения, выразим cosx через :

Разобьем полученное множество решений на две серии:

и

Ответ: .

V способ. Замена cosx через .

или	в озведем в квадрат обе части уравнения и используем формулы сокращенного умножения. Сделав проверку, легко убедиться, что из этой серии решениями уравнения является множество чисел .

Ответ: .

VI способ. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

или

Проверка:

- посторонний корень

- посторонний корень .

Ответ: .

VII способ. Использование формулы:

и при

; .

Ответ: .

IV зачетный раздел

Производные тригонометрических функций и

их применение

п. 21. Таблица производных

Правила дифференцирования

Определение производной*

Пусть х — произвольная точка лежащая в окрестности фиксирован-ной точки . Разность называется приращением аргумента в точке , т.е. (первоначальное значение аргумента получи-ло приращение ). При изменении аргумента изменяется и значение функции. Разность — называется приращением функции в точке , соответствующее приращению .

● Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение .

Производная функции f в точке обозначается и читается: «Эф штрих от ».