П. 15. Простейшие тригонометрические неравенства

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится к решению простейших неравенств вида и т.п.

Рассмотрим на примерах способы их решения.

Пример 1. Решите неравенство .

Р

Выпишем условия принадлежности точек этой дуге: концы дуги – точки , т.о. решения неравенства принадлежат промежутку . Вследствие периодичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным концам промежутка чисел вида , т.о. окончательный результат

ешение: это неравенство означает, что все точки единичной окружности при значениях t , удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую . Множество таких точек – дуга, выделенная на рис. 17.

Рисунок 17

Рисунок 18

П

Решение: изобразим решение на единичной окружности рис. 18 и, учитывая, что , получаем, что данному неравенству удовлетворяют точки, лежащие на выделенной дуге с концами . Добавив, в силу периодичности синуса, к концам промежутка числа

ример 2. Решите неравенство .

, получим ответ: .

Пример 3. Решите неравенство .

Р ешение: изобразим решение на единичной окружности с учетом того, что (рис. 19). Т.о. точки, удовлетворяющие неравенству, лежат на дуге с концами . Добавив, в силу периодичности косинуса, числа , получим результат: .

З

Рисунок 19

аметим, что решение неравенств можно отследить и по графикам функций .

При решении неравенств вида и т.п. учитываем, что период этих функций равен .

Пример 4. Решим неравенство .

Р ешение: решение неравенства (с помощью линии тангенсов) изображается на дуге окружности с концами . Добавив числа , запишем конечный результат .

Р

Рисунок 20

ешение неравенств, содержащих ctgx, показывается аналогично с помощью линии котангенсов.

№ 34. Решите неравенство:

№ 35*. Найдите те решения уравнения, для которых выполнено неравенство:

II ЗАЧЕТНЫЙ РАЗДЕЛ

Теоремы сложения тригонометрических функций и их следствия

п. 16. Формулы сложения (вычитания)

тригонометрических функций*

Приведенные в этом и последующих пунктах тригонометрические формулы широко применяются при преобразованиях тригонометрических выражений; решений уравнений, неравенств, систем и т.д. Основой к изучению формул является не столько их заучивание, запоминание, сколько умение различать и использовать в соответствующих выражениях.

Рассмотрим несколько примеров применения формул:

Пример 1. Вычислите:

если , .

Для использования формулы (1) нужно найти и , (форм.4, п.6):

٭С выводами формул п.п. 16-19 можно ознакомиться в учебном пособии [3] (см. список литературы).

; и ;

если .

Пример 2. Упростите выражения:

=

№ 36. Вычислите:

№ 37. Зная, что - углы I четверти, найдите значения выражений: .

№ 38. Упростите:

№ 39*. Докажите тождество: