1. , кєΖ.

2. 

3. Функция периодическая с основным периодом .

4. Функция нечетная.

5. 

   Рисунок 14

   Линия котангинса

   Е

   а) Функция убывает на (с увеличением , x – уменьшается), кєΖ;

   б) Функция положительна на ,

   в) Функция отрицательна на ,

   г) Нули функции , кєΖ.

   сли и (см. рис.13 и рис.14):

П. 12. Преобразования графиков

Приведенная ниже таблица позволяет существенно расширить возможности построения графиков функций по заданному графику элементарной функции.

Функция	Формула, задающая преобразование	Преобразование, которое следует провести с графиком на плоскости XOY
		Сжатие вдоль оси OX отно-сительно оси ОY в k раз, если k>1; растяжение в раз, если 0<k<1	I
		Сдвиг вправо по оси OX на единиц, если а>0; сдвиг влево на единиц, если а<0	II
		Растяжение вдоль оси OY относи-тельно оси OX в k раз, если k>1; сжатие вдоль оси OY раз, если 0<k<1	III
		Cдвиг вверх по оси OY графика функции на А единиц, если А>0; сдвиг вниз на единиц, если А<0	IV
		Симметричное отображение графика относительно оси OY	V
		Симметричное отображение гра-фика относительно оси OX	VI
Если функция периодическая и имеет период Т, то функция , где А, В, , – постоянные и , также перио-дична с периодом .			VII

Замечания:

1. При использовании таблицы желательно пользоваться указанными пунктами по порядку, т.е. с I по VΙΙ.

2. При построении графика периодической функции нужно вначале вычислить (используя VII) её наименьший положительный период и на нем строить график заданной функции.

Приведем примеры по применению таблицы к построению графиков тригонометрических функций.

Пример 1 Построить графики функций:

Используем за основу график функции , VII, I строки таблицы:

• — периодическая функция, с периодом , при этом преобразовании происходит сжатие графика функции в 3 раза.

• — периодическая функция, с периодом , — растяжение графика функции в 2 раза.

Пример 2 Построить графики функций:

Используем за основу график функции , VII, II строки таблицы:

• — периодическая функция, с периодом , при этом преобразовании происходит сдвиг графика функции вправо на , (т.е. =6/4=1,5 клетки).

• — периодическая функция, с периодом , — сдвиг влево на (т.е. на 6 клеток).

Пример 3 Построить графики функций:

Используем за основу график функции , VII, III строки таблицы:

• — периодическая функция, с периодом , при этом преобразовании происходит растяжение графика функции в 3 раза.

• — периодическая функция, с периодом , — сжатие графика функции в 2 раза.

Пример 4 Построить графики функций:

Используем за основу график функции , VII, IV строки таблицы:

• — периодическая функция, с периодом , при этом преобразовании происходит сдвиг графика функции вверх на 1, (т.е. 1 = 2 клетки).

• — периодическая функция, с периодом , — сдвиг вниз на 2 (т.е. на 4 клетки).

Рассмотрим более сложный пример:

Постройте график функции и опишите её свойства.

Решение: Данная функция образована с помощью функции c периодом Т=2 . Вычислим период заданной функции: .

Представим данную функцию в виде цепочки преобразований, сводящих её от простой к заданной:

Используя контрольные точки графика функции y=sinx на отрезке , проследим, куда они перейдут при дальнейших преобразованиях (см. таблицу).

Построим на XOY график по точкам:

, рис.15.

Начнем рассматривать преобразования графика с изменения аргумента: - сжатие вдоль оси OX в 2 раза,

рис. 15, см. .

Заметим, что функция ,

т.е. (после сжатия) недостающий сдвиг влево – равен ,

. Рис. 15, см. .

Далее идут преобразования значений функции:

- расстояние вдоль оси OY в 5 раз,

. Рис. 15, см. .

- сдвиг вдоль оси OY вниз на 1 единицу,

. Рис. 15, см. .

Так как - периодична, то полученный график следует отобразить на всю область определения.

Рисунок 15

О пишем свойства функции , по графику, учитывая период :

1. 

2. ;

3. функция возрастает на ;

4. функция убывает на ;

5. функция положительна на ;

6. функция отрицательна на ;

7. нули функции при ;

8. наибольшие значения функции равны 4 и достигаются в точках ;

9. наименьшие значения функции равны -6 и достигаются в точках , ;

10. точки, в которых касательные параллельны оси OX, имеют абсциссы

Заметим, что свойства, выписанные с использованием графика, носят приблизительные значения в связи с погрешностью построения.

№ 22. Найдите наименьший положительный период функции и опишите их свойства, выполнив построение графика: