П. 5. Свойства тригонометрических функций

1. Значения синуса и косинуса ограничены единицей, т.е.

Пример: Выражения — не имеют смысла.

2. Значения тангенса и котангенса не ограничены.

3. На единичной окружности в каждой из четвертей тригонометри-ческие функции сохраняют постоянный знак (рис. 6).

sin 

cos 

tg  и ctg 

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

Рисунок 6

4. Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная, т.е.

П ример:

,

5. При изменении угла на целое число оборотов значения тригономет-рических функций не меняются.

П ример:

№ 9. Определите знак выражения:

№ 10. Вычислите:

№ 11. Найдите значение выражения:

№ 12*. Вычислите:

№ 13*. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:

_{в) f(x)=3sinx+3; г) f(x)=2cosx-3.}

П. 6. Азбука тригонометрии

Введём основные тригонометрические тождества и их следствия. Рассмотрим применение формул при преобразованиях выражений, зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла, а также нахождение значений тригонометрических функций по заданному значению одной из них.

Основные тригонометрические тождества (ОТТ):

(1) sin²  + cos²  = 1 — основная тригонометрическая единица

(2) — тригонометрическая единица

(3) (4)

(5) (6)

Следствия из ОТТ:

(7) ; (8)

(9) ; (10)

(11) ; (12) .

Применение формул:

1. В формулах 7, 8, 9, 10, знаки « » зависят от того, в какой четверти расположен угол (см. стр. 10, свойство III, рис. 6).

2. Формулы 1 и 2 применяются при упрощении выражений, заменой в них 1 на соответствующие заданию тригонометрические единицы, или наоборот.

Пример: а) ,

б) 1+tgx∙ctgx=1+1=2.

3. Формулы 3, 4, 5, 6 применяются при упрощении путем сведения выражения либо к либо к .

Пример1 Упростите выражение:

Используем формулу (3): .

Пример2 Докажите тождество:

Используем формулы (1,3,4):

— ч.т.д.

№ 14. Упростите выражения:

№ 15. Докажите тождество:

№ 16*. Докажите тождество:

№ 17*. Найдите наибольшее значение выражения:

№ 18*. Зная, что , найдите

№ 19*. Зная, что , найдите

П. 7. Нахождение значений тригонометрических функций

Основная задача: по известному значению одной из функций и заданному углу найти значения остальных тригонометрических функций этого же угла.

Используются:

1. ОТТ (формулы 1,3,4 — стр.12);

2. следствия из ОТТ (формулы 7,8,9,10 — стр.12);

3. знаки тригонометрических в координатных четвертях (рис.3 — стр. 5; рис. 6 — стр.10).

П ример 1. Найти , если известно, что

Решение: заметим, что четверти (рис.3) и

- отрицательны (рис.6).

Из формулы 8 имеем:

Из формулы 3: .

Из формулы 12: .

Заметим, что если известно значение , то вычисления аналогичны.

Пример 2. Известно, что . Вычислите .

Решение: четверти, .

Из формулы 12: .

Из формулы 10: .

Из формулы 7: .

№ 20. Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

№ 21*. Найдите значение дроби:

п. 8. Функция y = sin x, её свойства и график

Заметим, что т.к. , то при построении графиков тригоно-метрических функций в качестве единичного отрезка удобнее выбирать 1см; соответственно = 3 см; = 1,5 см; = 6 см и т.д.

Этапы построения графика (синусоида рис.7):

Точки функции на отрезке .

Замечание: При построении графика на отрезке удобнее использовать точки

Рисунок 7

Свойства функции .

1. 

2. 

3. Функция периодическая; основной период равен 2 , т.е. через каждый промежуток 2 значения функции и соответственно график повторяются.

4. Функция нечетная, т.е. график симметричен относительно начала координат.

5. Следующие свойства можно определять как по единичной окружности (рис.8), так и по графику (рис.7).

Т.к. то очевидно, что:

а) Функция возрастает на ; кєΖ

б) Функция убывает на ; кєΖ

линия синуса

Рисунок 8

в) Функция положительна на ; кєΖ,

г) Функция отрицательна на ; кєΖ,

д) Нули функции 0, ,- ,… ; кєΖ.

п. 9. Функция y = cos x, её свойства и график

Построение графика функции и проводится аналогично графику функции , учитывая сдвиг вдоль оси OX на .

Рисунок 9

Свойства функции (синусоида).

1.

2.

3. Функция периодическая с основным периодом 2 .

4. Функция четная, т.е. график симметричен относительно оси OY.

Рисунок 10

линия косинуса

5

а) Функция возрастает на ;

кєΖ,

б) Функция убывает на ; кєΖ,

в) Функция положительна на кєΖ,

. Т.к. при то (см. рис. 9 и рис.10):

г) Функция отрицательна на ; кєΖ,

д) Нули функции ; кєΖ.

п. 10. Функция y = tg x, её свойства и график

Этапы построения графика (тангенсоида рис.11):

Контрольные точки на .

Рисунок 11

Свойства функции .

1. , кєΖ.

2. 

3. Функция периодическая с основным периодом .

4. Функция нечетная.

5. Если и (см. рис.11 и рис.12):

а) Функция возрастает на

(с увеличением , у – увеличивается), кєΖ;

б) Функция положительна на , в) Функция отрицательна на

г) Нули функции кєΖ.

линия

тангенса

Рисунок 12

п. 11. Функция y = ctg x, её свойства и график

Рисунок 13

Свойства функции (тангенсоида).