2. Нахождение уравненных значений измеренныхвеличин (Уравнивание, мнк-оптимизация)

Представим вектор истинных значений измеряемых величин Y_n1 в виде суммы векторов измерений y_n1 и малых поправок v_n1 к ним:

Y_n1 = y_n1 + v_n1. (K.11)

Поправки v_n1 полагаем значительно меньшими по модулю самих результатов измерений y_n1, т.е. |v_n1| << | y_n1|. Такое предположение основывается на том, что геодезические измерения выполняются с относительными СКП порядка не ниже 10^-3÷10^-4.

При подстановке этих результатов в левые части УУС (K.3) получаем такой результат:

_r1(y^T_1n + v^T_1n; Z^T_1q) = 0_r1. (K.12)

Разложив функцию (K.12) в ряд Тейлора в окрестности точки y_n1 и ограничившись только линейными членами, получим:

_r1(y^T_1n; Z^T_1q) + {∂_j/∂Y_i}_y*v_n1 =

= B_{r n} v_n1 + W_r1 = 0_{r 1}, (K.13)

где B_{r n} – матрица коэффициентов линеаризованных УУС, представляющих собой частные производные условий Φ_j по измеряемым величинам Y_i. Числовые значения производных находят по данным измерений y_n1:

B_{r n} = {∂Φ_j / ∂Y_i}_y (K.14)

Невязки W_r1 = _r1(y^T_1n; Z^T_1q) являются свободными членами уравнений (K.13). Число «r» линеаризованных УУС (K.13) меньше числа неизвестных поправок «n». Выдвинув требование линейной независимости УУС, мы вправе считать, что

rank(B_{r n}) = r. (K.15)

В таком случае матрица B_{r n} будет матрицей полного строчного ранга, а система (K.13) будет иметь бесчисленное множество решений.

Для выбора единственного решения на систему (K.13) накладывается МНК-ограничение:

B _{r n} + W_r1 = 0_{r 1}

(K.16)

Y = = min.

Решение УУС с МНК-ограничением (K.16) начинается с составления функции Лагранжа (задача на условный экстремум):

, (K.17)

где Λ_{r 1} – вектор неопределённых множителей Лагранжа, называемых коррелатами.

Далее, воспользовавшись необходимым условием существования экстремума (K.17), получаем систему уравнений

, (K.18)

решение которой выражает МНК-поправки в измерения через коррелаты:

. (K.19)

Соотношение (K.19) называют коррелатным уравнением поправок (КУП). Подставляя его в линеаризованные УУС (K.13), получаем нормальные уравнения коррелат

N_{r r}*_r1 – W_r1 = 0_r1, (K.20)

коэффициенты которых определяются следующим образом:

N_{r r} = B_{r n} K_{n n} B^T_{n r}. (K.21)

Решение нормальных уравнений (K.21), когда det(N) ¹ 0, позволяет найти корни системы – коррелаты:

L_{r 1} = N_{r r}^-1×W_{r 1}. (K.22)

Получив коррелаты, обращаемся к соотношениям (K.19), с помощью которых находим МНК-поправки в результаты измерений:

. (K.19)

Окончательно вычисляем уравненные значения измеренных величин:

y_n1 + . (K.23)

На этом вывод алгоритма МНК-оптимизации или «уравнивания» результатов измерений y_n1 заканчивается.

Для решения задачи оценки точности измерений необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические аспекты, связанные с числовыми характеристиками промежуточных и окончательных значений случайных векторов, задействованных в алгоритме коррелатной версии.

3. Статистические свойства векторов-оценивателей алгоритма коррелатной версии

Числовые характеристики случайных векторов, реализующих алгоритм коррелатной версии, – это их математические ожидания (МО) и ковариационные матрицы (КМ). Математические ожидания позволяют проверять гипотезу о несмещённости оценивающих функций (ОФ), каковыми являются полученные векторы алгоритма. Ковариационные матрицы содержат на диагоналях квадраты СКП компонентов векторов и позволяют судить об их точности.

Данные сведены в Таблицу К.1, при создании которой использовалась известная «Теорема о распространении ошибок». Эта «Теорема» имеет следующий вид:

K_Y = C K_X C^T, (K.24)

где Y_n1 = C_nm×X_m1 – результат линейного преобразования С_{n m} исходного вектора X_{m 1} с известной ковариационной матрицей K_X в вектор Y_{n 1}.

Первая строка Таблицы 1 – это исходные данные, то есть результаты измерений y_n1, их ковариационная матрица K_y = K и условие отсутствия систематических ошибок в измерениях

E(y_n1) = Y_n1. (K.25)

Каждая последующая строка этой таблицы, начиная со второй, получается из предыдущей на основе формулы, определяющей исследуемый вектор, и теоремы (K.24).

Например, из линеаризованных условных уравнений (K.13) для вектора невязок, находящегося в третьей строке, имеем

W_{r 1} = – B_{r n}*v_{n 1}. (K.26)

Во второй строке получено, что E(v) = 0, а K_v = K. Следовательно, математическое ожидание E(W) = E(–B*v) = – B*E(v) = 0, так как коэффициенты условных уравнений B_{r n} не являются случайными величинами, а E(v) = 0.

По теореме (K.24)

K_W=(–B)×K_v×(–B)^T= BKB^T = N, (K.27)

то есть матрица коэффициентов нормальных уравнений коррелат – это ковариационная матрица невязок.

Подобным же образом получены все остальные строки Таблицы 1.

Особо отметим результаты, полученные в пятой и шестой строках. Тот факт, что E( ) = 0, говорит о смещённости МНК-поправок в измерения, так как E( )≠v, т.е. МО ОФ (K.19) не равно оцениваемому параметру v_. Напротив, соотношение E( ) = Y говорит о несмещённости ОФ уравненных значений измерений (K.23) поскольку здесь наблюдается равенство.

Результат третьей колонки шестой строки показывает, что после уравнивания каждая оптимизированная величина имеет мèньшую СКО, чем СКО её исходного значения: , т.е. .

Таблица К.1

№ №	Вектор	Математические ожидания		Ковариационные матрицы
1	2	3		4
1	yn1	E(y) = Y	Ky = K
2	vn1	E(v) = 0	Kv = K
3	Wr1	E(W) = 0	KW = N
4	Lr1	E(L) = 0	KL = N-1
5		E( ) = 0	=KBTN-1BK
6		E( ) = Y