3.2. Коррелатная версия мнк-оптимизации и оценки точности данных (Коррелатный способ уравнивания)

Математическая обработка геодезических измерений предусматривает решение трёх основных задач:

нахождение действительных (оптимальных по точности) значений (ДЗ) измеряемых величин;

оценку точности (ОТ) измерений;

оценку точности действительных значений (ОТ ДЗ) измеренных величин и функций от них.

Первая задача традиционно в русскоязычной литературе называется уравниванием измерений. В результате уравнивания, которое обычно выполняется по методу наименьших квадратов, получают числовую модель, максимально близкую реальному объекту в том случае, когда результаты измерений не содержат постоянных погрешностей. В современной литературе всё чаще встречается термин, объединяющий процесс уравнивания с ограничением, накладываемым на уравнения связи. Этот термин звучит как «МНК-оптимизация данных».

При наличии постоянных погрешностей обычное применение метода наименьших квадратов, несмотря на его замечательные свойства, может оказаться не эффективным. Поэтому следует стремиться к ослаблению влияния постоянных погрешностей с помощью соответствующих измерительных технологий, применяемых в геодезических построениях, и строгой математической обработки предварительных результатов.

Геодезические построения создаются с целью координатизации пространства. Выполняемые при этом измерения необходимо сопровождаются погрешностями, влияние которых должно быть компенсировано.

1. Постановка задачи

Пусть измерено «n» величин y₁, y₂, … , y_n, вектор истинных значений которых выглядит следующим образом Y_1n^T = (Y₁,…,Y_n). Они образуют некоторую систему и связаны между собой линейно независимыми условными уравнениями связи (УУС):

_r1(Y^T_1n; Z^T_1q) = 0_r1, (K.3)

где r = n – k .

Результаты измерений y_i (i = 1, 2, …, n) характеризуются некоторой ковариационной матрицей

, (K.6)

где диагональные элементы представляют собой оценки дисперсий (квадраты СКО) каждой величины, которые могут быть найдены следующим образом:

= = (K.7)

Здесь – среднее арифметическое i – ой величины, равное

= (K.8)

Корреляционные моменты (ковариации) K_ij могут быть оценены по формуле

(K.9)

Традиционный алгоритм математической обработки геодезических измерений предполагает:

1) результаты измерений y_i необходимо отягощены только случайными ошибками измерений и представляют собой элементы спектров соответствующих СВ Y_i, т.е. y_i Y_i. Тот факт, что измерения свободны от постоянных систематических ошибок, моделируется условием совпадения математического ожидания СВ Y_i и реального значения Y _i измерявшейся величины:

E(Y_i) = Y _i ; (K.10)

2) координаты опорных точек z_q1 = Z_q1 рассматриваются как безошибочные константы.

Резюмируя сказанное, сконцентрируем имеющуюся информацию.

Дано:

Проект ГП.

Схема, чертёж высотной или плановой геодезической сети.

Математическая модель ГП.

_r1(Y^T_1n; Z^T_1q) = 0_r1 – линейно независимые УУС, где Y _i и Z_k – истинные значения измеряемых величин и исходных данных.

Числовые данные.

y_1n^T=(y₁, y₂, … y_n) – вектор результатов измерений;

– ковариационная матрица измерений (стохастическое расширение математической модели);

z_q1 = Z_q1 – координаты опорных точек, полагаемые константами.

Теоретические посылки.

Y_1n^T=(Y₁, Y₂, … Y_n) – вектор СВ Y_i, являющихся вероятностными моделями измерений;

E(Y_n1) = Y _n1 – условие отсутствия постоянных систематических ошибок в измерениях;

– априорное значение масштабного показателя точности измерений.

Найти:

1) действительные (уравненные) значения измеряемых величин – ;

2) апостериорное значение показателя точности измерений – μ²;

3) апостериорные ковариационные матрицы и уравненных значений и функций от них = F_s1

Решение поставленных вопросов объёмно и займёт несколько параграфов.