Отношения порядка

Бинарное отношение на А называется предпорядком на А, если оно рефлексивно и транзитивно (например, отношение «х делитель у» на множестве целых чисел).

Частичным порядком на А называется бинарное отношение рефлексивное, транзитивное и антисимметричное. Частичный порядок часто обозначается символом “”. Порядок ^-1 называется двойственным к  и обозначается символом “”. Будем писать x<y, если x<y и xy. Частичный порядок  на множестве А называется линейным, если два любые элемента из А сравнимы между собой по , т.е. xy или yx для любых х,у А. Множество А с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

Часто частично упорядоченное множество (ЧУМ) изображают в виде графа H=(V,), из которого удалены все петли и транзитивно замыкающие дуги. Такой граф называется диаграммой Хассе. Диаграмма Хассе известна с конца XIX века. В течение многих лет ее применяли в генеалогии для задания родства.

Понятие непосредственного старшего легко задается в ЧУМ следующим определением: x покрывает у тогда и только тогда, когда y<x и не найдется такого элемента z, что y<z<x.

Таблица 3 Свойства отношений порядка

Понятие	Свойство или определение	Пояснения
Рефлексивный ЧП в А	RAA, R рефлексивно в А, R транзитивно в А, R антисимметрично в А.	iA R, RR=R, xRy и yRx  x=y.
Иррефлексивный ЧП в А	R  A2, R иррефлексивный, транзитивный, асимметричный.
R- ЧП в А, В  А, B минимальный элемент в В: b = min B d – максимальный элемент в В: d = max B	x: xB  b<x, bB, x:xB  x<b, bB.	Элементы b и d сравнимы со всеми элементами из В.
R – ЧП в А, ВА, а,bА. а – нижняя грань В, b – верхняя грань В.	x: xB  a  x, x: xB  x  b.	В отличие от минимального и максимального элемента В а и b не обязательно принадлежат В.
R – ЧП в А, ВА; u, oA. u=inf B (точная нижняя граница В), o=sup B (точная верхняя граница В).	u – максимальный элемент нижней грани, о – минимальный элемент верхней грани.	Точная верхняя и нижняя границы не всегда существуют.
R – ЧП в А, ВА; В - цепь в А	x,y: x,yBxy или yx.	В линейно упорядочено отношением В2  .

Подмножество В множества А, частично упорядоченного отношением , называется цепью в А, если оно линейно упорядочено отношением   В².

Отношением частичного порядка является отношение включения () на булеане конечного множества; примером линейного порядка является отношение  на множестве чисел.