Элементы комбинаторики

Комбинаторика - это теория конечных множеств. Предметом комбинаторики является подсчет мощностей некоторых конечных множеств, элементы которых получены по определенным правилам из элементов других конечных множеств. Мы рассмотрим несколько задач, имеющих различные приложения в разных областях математики.

Основным методом комбинаторики является метод математической индукции. Он состоит в следующем:

Если некоторое свойство, заданное на множестве целых неотрицательных чисел, справедливо для 1, и если, каково бы ни было целое положительное число n, из справедливости этого свойства для n вытекает справедливость его для n=1, то это свойство справедливо для всех положительных целых чисел. Иначе, если В(х) - одноместный предикат, определенный на множестве целых положительных чисел, то приведенное выше определение можно переписать следующим образом:

.

Чтобы доказать методом математической индукции некоторое свойство, необходимо

1. Доказать справедливость этого свойства для 1.

2. Для произвольного n доказать справедливость выражения .

Такое доказательство называется доказательством по индукции. Его первая часть называется базисом индукции, вторая - индукционным шагом. При проведении индукционного шага посылку импликации, т.е. предложение B(n) называют индуктивным предположением.

Нередко метод индукции используется не для доказательства свойств целых чисел, а при рассмотрении каких-либо других объектов, занумерованных этими числами. Именно так он будет использоваться в комбинаторных задачах, к рассмотрению которых мы переходим.

Комбинаторными соединениями называются слова конечной длины, составленные из букв конечного алфавита по заранее определенным правилам. Рассмотрим некоторые из низ и правила подсчета их числа.

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЕМ

Размещениями с повторением из n элементов по m называются комбинаторные соединения, представляющие собой слова длины m в алфавите объемом n, различающиеся либо самими буквами, либо их порядком.

Пусть А = {a₁, a₂, ..., a_n) - конечный алфавит, состоящий из n букв, и пусть - число слов в алфавите А , имеющих длину m, буквы в которых могут повторяться. Например, возможно слово а₁^(m), т.е. содержащее одну единственную букву. Возможны любые произвольные сочетания, включающие вхождения некоторых букв произвольное число раз и в произвольном порядке.

Теорема = n^m.

Доказательство Докажем теорему методом математической индукции по m.

1. Базис: При m =1 число Q(1) различных слов, которые могут быть образованы в алфавите А, равно его мощности, т.е. n. Следовательно, Q(1)= = n¹=n. Базис индукции доказан.

2. Индукционное предположение: пусть для некоторого m доказано, что Q(m)= = n^m. Определим число слов в длины m+1 при этом предположении. Все слова длины m+1 можно получить, приписывая справа к каждому слову длины m какую-нибудь букву алфавита. Очевидно, каждое слово длины m можно дополнить n способами, т.е. общее число слов длины m+1 окажется в n раз больше числа слов длины m. Следовательно, Q(m+1)=Q(m)*n= n*n^m=n^m+1= .

Доказательство окончено.

РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Это комбинаторные соединения, представляющие собой слова длины m в алфавите объемом n, различающиеся составом букв или их порядком, в каждое из которых любая буква может войти не более одного раза.

Теорема: .

Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции по m.

1. Базис: При m=1 число Q(1) различных бесповторных слов в алфавите А равно его мощности, т.е. n. Подставляя m=1 в условие теоремы, получим n!/(n-1)!=n. Таким образом, базис индукции справедлив.

2. Индукционное предположение: пусть при некотором m число размещений без повторений Q(m) = . Определим число слов длины m+1, являющихся размещениями без повторений. Все такие слова можно получить, приписывая к каждому слову длины m одну из неиспользованных в слове букв алфавита А. Следовательно, каждое слово длины m порождает n-m слов длины m+1. Следовательно, число Q(m+1) слов длины m+1 равно Q(m)*(n-m)= (n-m)= .

Теорема доказана. Разумеется, это доказательство имеет смысл только в случае, когда n > m.

ПЕРЕСТАНОВКИ

Это слова длины n в алфавите объемом n, в которых одна и та же буква не может повторяться. Т.е. это размещения без повторений из n по n. Число перестановок обозначается Р_n.

Теорема P_n = n!

Доказательство автоматически следует из выражения для числа размещений без повторений. По определению 0!=1.

СОЧЕТАНИЯ ИЗ n ЭЛЕМЕНТОВ ПО m

Это слова длины m в алфавите объемом n, различающиеся составом букв, но не их порядком, причем буквы в словах могут появляться не более одного раза. Число таких соединений обозначается как

Теорема:

Доказательство. В соответствии с определением, сочетания есть размещения без повторений из n элементов по m, в которых слова с одинаковыми наборами букв являются одним и тем же словом сочетаний. Поэтому их число может быть определено как

Q(m)= .

Следствия

1. - следует из определения.

2. - так как все пустые слова одинаковы.

3. . Означает мощность булеана конечного n- элементного множества, так как сочетания есть не что иное, как m - элементные подмножества n - элементного множества, а указанная сумма определяет число всех возможных подмножеств.

 Возможно следующее доказательство этого свойства. Известно, что

где это биномиальные коэффициенты, определяющие число слагаемых вида xⁱy^n-i в сумме. В частном случае, когда х=1 и у=1 получаем непосредственно требуемое выражение 

4. .

 Доказывается аналогично доказательству свойства 3 в предположении, что х=1, у=-1. 

Треугольник Паскаля

Рассмотрим рекуррентную по n процедуру определения биномиальных коэффициентов, т.е. определение если известно Пусть число r- элементных подмножеств (n+1)-элементного множества равно и известно, как определить И пусть А  = n и мощность множества А  {a₀} равна n + 1.Тогда r- элементные подмножества множества А  {a₀} будут состоять из подмножеств двух типов: тех, которые не содержат элемент а₀, число их будет равно , и тех, которые содержат элемент а₀. Последние можно получить, взяв все (r-1) - элементные подмножества множества А, и добавив к каждому из них а₀. Тогда число r - элементных подмножеств (n + 1)-элементного множества определится, как Это рекуррентное соотношение используется для построения таблицы биномиальных коэффициентов, в которой коэффициенты расположены рядами друг над другом. Ряды следуют в порядке возрастания n, а позиция коэффициента в ряду определяет m, причем 0  m  n, 0  n  N.

Рисунок 1. Треугольник Паскаля.

Таблица биномиальных коэффициентов приводится в математических справочниках и имеет вид, представленный на Рис. 1.