Аксиомы и тождества алгебры Кантора

В общем случае алгебра - это совокупность несущего множества и некоторых операций, заданных на нем. В алгебре Кантора (алгебре множеств) несущим множеством является булеан универсума, на котором заданы три операции: одноместная операция НЕ ( ) , двуместные операции И () и ИЛИ (). Обозначение алгебры Кантора: А_к = <P(1),  , ,  >.Операции на множествах подчинены простым законам, перекликающимся с аксиомами алгебры чисел, но не совпадающим с ними. Аналогом операции  в алгебре чисел является операция умножения, операции  - сложение. Однако эти аналогии в значительной степени внешние. Законы алгебры множеств более универсальны, чем алгебры чисел.

Аксиомы алгебры Кантора

А1. Тождественность:	А  А=А ;	А  А=А;
А2. Коммутативность:	А В=В  А;	А В= В А;
А3.Ассоциативность:	А  (В С)=(А  В)  С;	А (В С)=(А В) С;
А4. Дистрибутивность:	А (В С)=(А В)  (А С);	А (В С)= (А В) (А С);
А5.Законы дополнения:	А 1=1; А =А; А А =1; 1 = ;	А  1=А; А и = ; А  А = ; =1;
А6. Закон двойного отрицания:	_ А=А ;
Правила де'Моргана:

Законы для разности множеств

1. А\В=А В

2. 1\А= А

3. А\1=

4. А\=А

5. \А=

6. А\А=

7. (А\В)\С=А\(В  С)

8. А\(В\С)= (А\В)  (А С)

9. А (В\С)=(А В) (А\С)

10. А (В\С)=(А В)\(А С)

Используя аксиомы и тождества алгебры множеств можно преобразовывать исходные множества, заданные формулами, к формулам определенного вида. Наибольший интерес представляют канонические формы представления. Одной из канонических форм представления множеств является нормальная форма Кантора, т.е. представление множества в виде объединения пересечений множеств или их дополнений. Стратегия преобразований исходной формулы состоит в следующем:

1. Вначале избавляются от всех вхождений знака "вычесть" (\) в исходной формуле.

2. Используя правила де Моргана, заменяют дополнения выражений на объединение и пересечение дополнений.

3. Используя аксиомы дистрибутивности, преобразуют полученное выражение к требуемому виду.

П ример 1.

А\(В\С)=А (В  С ) = А (В  С ) = (А  В) (А С).

Полученная формула есть нормальная форма Кантора данной формулы (НФК).

Подмножества и доказательства

Операции пересечения, объединения, разности и дополнения позволяют формировать новые множества. Однако, как правило, мы не можем сказать, как одно множество соотносится с другим. Например, пусть даны два множества А и В. Пересечение А и В в некотором смысле "меньше" (или по крайней мере не больше), чем А. Действительно, все элементы множества А  В принадлежат также множеству А. Из этого наблюдения можно формально определить равенство множеств и различных выражений для того же множества. С помощью этих определений мы также в состоянии написать подходящие логические доказательства важных фактов, относящихся к множествам. Эти результаты хотя и очевидны, обеспечивают подходящие ситуации, в которых можно ввести некоторые из основных способов доказательств, используемых в дальнейшем.

Доказательство тождественного равенства множеств может быть основано на следующем определении:

Здесь символ "" означает "тогда и только тогда, когда" или "если и только если" и означает эквивалентность двух утверждений. В общем случае мы должны провести доказательство в обе стороны раздельно. Заметим, что эквивалентность может быть легко получена с помощью диаграммы Эйлера - Венна, однако не всегда можно начертить диаграмму, относительно которой можно быть уверенным, что она настолько отвечает требованиям, насколько необходимо.

Доказательство состоит из последовательности утверждений вида "если Р , то Q". Следовательно, если имеется последовательность P₀, P₁, ..., P_n, такая что P₀P₁, P₁P₂, ..., P_n-1P_n, то мы имеем прямое доказательство P₀P_n.

В следующих примерах мы покажем, как на практике применить вышеприведенные рассуждения.

Пример 2.

Доказать справедливость тождества: А  (В  С) = (А  В)  (А  С).

 Пусть Тогда Следовательно, . Следовательно, Следовательно, доказано прямое включение рассматриваемых множеств. Обратное включение доказывается путем аналогичных рассуждений.