12 Конспект лекций по дискретной математике.

Аксиомы и тождества алгебры Кантора

Алгебра множеств 1

Основные определения 1

Аксиомы и тождества алгебры Кантора 2

Законы для разности множеств 2

Подмножества и доказательства 3

Декартово произведение множеств 3

Элементы комбинаторики 4

Отношения и функции 7

Специальные бинарные отношения 9

Отношение эквивалентности 10

Отношения порядка 11

Алгебра множеств Основные определения

Понятие множества является понятием первичным, т.е. не определяемым через другие элементарные понятия. Множество состоит из элементов. Отношение включения элемента х в множество М обозначается Запись означает, что элемент х не принадлежит множеству М. Существует несколько способов задания множеств, применение которых обусловлено контекстом. Ниже перечислены способы основные способы задания множеств:

• Перечислением элементов, которые указываются через запятую и заключаются в фигурные скобки. Например, запись M={x,y,z} означает трехэлементное множество. Очевидно, такой способ применим для не слишком больших множеств.

• Указанием характеристического свойства, например, M={x | x N (N – множество натуральных чисел), 2<x<7}. Очевидно, эта запись указывает множество {3,4,5,6}.

• Графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Диаграмма Эйлера-Венна представляет собой выпуклую самонепересекающуюся кривую, очерчивающую область, в которой находятся все элементы множества.

• Аналитически с помощью операций на множествах.

• С использованием характеристической функции, которая позволяет представлять множество двоичным словом.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. При этом порядок перечисления этих элементов не существен. Обозначение равенства множеств: А=В. Обозначение неравенства множеств А  В.

Между множествами существует два вида отношений включения:  - отношение истинного включения; А  В  х: х  А  х  В и А  В;

 - более общий тип включения, А В  х: х  А  х  В или А=В.

На основании определения отношения включения « », определение тождества множеств можно записать следующим образом: А = В  А  В и В  А. Это определение используется для доказательства тождества множеств.

Множество называется конечным, если число его элементов равно некоторому натуральному числу, и бесконечным, если такого натурального числа не существует. Общим свойством всех множеств является из кардинальное число или мощность. Мощность множества А обозначается |A|. Мощность конечного множества равна числу его элементов. Мощность бесконечного множества зависит от типа множества. Бесконечные множества бывают счетные и несчетные. Самым простым из счетных множеств является множество натуральных чисел N = {1,2,…,n,…}. Его мощность обозначается специальным символом алеф-нуль ₀. Примером несчетного множества является множество действительных чисел R, его мощность называется мощностью континуума, обозначается С.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством, обозначается .

Универсумом называется множество, из элементов которого строятся все другие множества, обозначается I.

Множество всех подмножеств данного конечного множества называется булеаном этого множества. Булеан множества А обозначается Р(А), его мощность |P(A)| = 2^|A|.

При задании множеств с использованием характеристической функции необходимо задать конечный универсум М и упорядочить его элементы. При задании любого подмножества N множества М каждому его элементу характеристическая функция ставит в соответствие 0 или 1 в соответствии с правилом:

Например, если M={2,3,4,5}, то множество N = {3,5} с использованием характеристической функции будет записано как (0101), пустое множество – (0000), само множество М – (1111).

Основные операции над множествами:

Объединением множеств А и В называется множество АВ = {x | x: x A или x B}.

Пересечением множеств А и В называется множество А  В = {x | x: xA и x  B}.

Разностью множеств А и В называется множество A\B = {x | x: x  A и x  B}.

Разность универсума I и множества А называется дополнением А и обозначается А или  А.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество

Универсум с заданными на нем подмножествами, операциями и отношениями образуют алгебру Кантора (алгебру множеств).