2. Операции над множествами

1.Для произвольных множеств X и Y доказать справедливость соотношений:

1.1.

1.2.

2.Даны множества А, В, С и СВ. Доказать, что

2.1. А  С  А  В;

2.2. A  C  A  B;

2.3. A\B  A\C;

2.4. C\A  B\A;

2.5. B\AC\A.

3. Доказать, что если АВ, то Р(А)Р(В).

4. Доказать справедливость тождеств:

4.1. AB=A(B\A);

4.2. (AB)\C=(A\C)(B\C);

4.3. A\(B\C)=(A\B)(AC);

4.5. A\(BC)=(A\B)\C;

4.6. ABCAC и BC;

4.7. ABCAB и AC;

4.8. ABCABC;

4.9. (A\B)B=ABA;

4.10. (AB)C=A(BC)CA;

4.11. ABACBC;

4.12. ABACBC;

4.13. ABA\CB\C;

4.14. ABC\BC\A;

4.15. AB  B A ;

4.16. A  B = A  B  A = B;

4.17. A =B  A  B =  и A  B = I;

4.18. A = B  (A\B)  (B\A) = .

5. Доказать, справедливость тождеств:

5.1. Р(А  В ) = Р(А)  Р(В);

1. 

5.3. P(AB)={(A_i B_i)  A_i P(A), B_i P(B)};

5.4. .

6. Какие утверждения верны для всех множеств А, В, С:

6.1. A B и B C  A  C;

6.2. A B и В С  А С;

6.3. A  B C и A  C  B  A  C = ;

6.4. AB и BC  AC;

5. A и B  B=.

7. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества.

8. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества.

8. Решить систему уравнений

где А, В, С - данные множества, В  А  С.

8. Решить следующие системы уравнений:

1. 

2. 

3. 

При каких А, В, С эти системы имеют решения?

11. Доказать, что :

1. (А  В)  (C  D)  (AC)  (BD). При каких А,В,С получается равенство ?

2. (А  B)  C = (A С )  (BC);

3. А (BC) = (AB)  (AC);

4. (AB)  (CD) = (AC)  (BC)  (AD)  (BD);

5. А  (B\C) = (A  B)\ (A  C);

6. А  B = (A  D) (C  B)  A  C и B  D;

7. I² \ (A  B) = [(I\A)  I]  [I  (I\B)];

8. ( ;

9. ;

3. Отношения и функции

1. Пусть [a,b],[c,d]  R. Найти геометрическую интерпретацию множеств:

1.1. [a ,b] x [c,d];

1.2. [a,b] x {c,d};

1.3. {a,b} x [c,d];

1.4. {a,b} x {c,d};

1.5. {0,1}³;

1.6. {-1,0,1}²;

1.7. {1,2,3} x [a,b];

1.8. [1,2] x {a,b,c};

1.9. {a,b,c} x {1,2};

1.10. {a,b,c} x [0,1];

1.11. {a} x {1};

1.12. {1,2} x {a};

1.13. {a,b} x {-1,0,1};

1.14. {-1,0,1} x {a,b,c};

1.15. {-1,0,1} x [a,b];

1.16. {-1,1,3} x {2,4};

1.17. {-1,1,3} x [2,4].

2. Определить всеми возможными способами бинарное отношение на множестве А ={1,2,3,4,5} и указать его свойства, если

2.1. xy  (x-y) - четно;

2.2. xy  x=y ;

2.3. xy  х делит у;

2.4. xy  x>y;

2.5. xy  x<y;

2.6. xy  x=y;

2.7. xy  xy;

2.8. xy  xy;

2.9. xy  остаток от деления х на у равен 1.

3. Задать всеми возможными способами бинарное отношение  на множестве {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},определенное следующим образом:

3.1. аb  a<b;

3.2. аb  a делитель b;

3.3. аb  a>b;

3.4. аb  ab;

3.5. аb  a=b;

3.6. аb  b-1 < a < b+2.

4. Пусть X={2,4,6,8}, xy  x<y, x,yX. Определить отношения  и ^-1 перечислением элементов.

5. Определить перечислением элементов отношения  и , заданные на булеане множества {a,b,c}.Изобразить диаграмму Хассе для отношения .

6. Сколько бинарных отношений можно задать на множестве {0,1}? Выписать все эти отношения, построить их графы. Выделить среди них все отношения эквивалентности, все отношения частичного порядка, а также все отношения являющиеся одновременно симметричными и транзитивными, но не рефлексивными.

7. Доказать, что операция композиции бинарных отношений ассоциативна.

8. Определить все возможные бинарные отношения на множестве {a,b} и найти среди них все отношения эквивалентности, а также все отношения являющиеся одновременно симметричными и транзитивными, но не рефлексивными.

9. Пусть А и В - конечные множества с мощностью m и n соответственно.

9.1. Сколько существует бинарных отношений между элементами этих множеств?

9.2. Сколько имеется 1-1 - функций из А в В ?

9.3. Сколько существует взаимно однозначных соответствий между А и В ?

10. Доказать, что если f есть функция из А в В и g есть функция из В в С , то f  g есть функция из А в С.

11. Пусть f и g - функции. При каких условиях

11.1. f ^-1 является функцией ;

11.2. f  g является взаимно однозначной функцией ?

12. Доказать, что для того, чтобы отношение  АВ было взаимно однозначным соответствием между А и В, необходимо и достаточно, чтобы ^-1 = I_A и ^-1=I_B.I_A и I_B - диагональ соответствующего множества.

13. Сколько существует бинарных отношений, для которых ^-1= ?

14. Пусть  - бинарное отношение на множестве А. Доказать, что =I_A тогда и только тогда: когда ₁=₁=₁ для любого отношения ₁ на множестве А.

15. Доказать, что для любых бинарных отношений справедливы тождества:

15.1.    =    = ;

15.2. (^1)^1 = ;

15.3. (₁  ₂)^1 = ₁^1  ₂^1,

15.4. (₁  ₂)^-1 = ₁^1  ₂^1,

5. 

16. Найти область определения, область значений, график отношения , обратное отношение ^1, дополнение отношения, композиции , ^1, ^1 для отношения:

16.1. ху  х,у  R и х  2у-4;

2. ху  х,у  R и х +y<0;

16.3. ху  х,у  R и 2х < 3y-1;

16.4. ху  х,у  R и х 4y+5;

16.5. ху  х,у  R и х /2 < (y+2)/4;

16.6. ху  х,у  [-/2, /2], x  Sin y;

16.7. ху  х,у  (0,1], y  ln x;

16.8. ху  х,у  (0,10], y lg x;

16.9. ху  х,у  R и х > 2y+1;

10. ху  x [-/2,/2], y  R и y  tg x.

17. Доказать, что для любых отношений ₁ и ₂ справедливы соотношения:

1. 

2.