3.2. Представление чисел в форме с плавающей запятой
В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:
,
где
– мантисса числа
;
– порядок числа
.
Порядок (с учетом знака) показывает, на
сколько разрядов и в какую сторону
сдвинута запятая при замене формы
записи числа с естественной на нормальную.
Например, число
можно представить, как
и как
.
В двоичной системе исчисления формат машинного изображения чисел с плавающей запятой включает знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:
Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел:
Примеры представление целых и дробных двоичных чисел в форме с плавающей запятой приведены на рисунке 3.
а)
б)
Рисунок 3 – Представление двоичных чисел в форме с плавающей запятой:
а) целая часть; б) дробная часть
Примечание 3. Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком:
,
где
– целое положительное число (смещение),
.
Обычно
,
где
– число двоичных разрядов в поле цифр
несмещенного порядка. В этом случае
поле знака порядка избыточно, так как
всегда положительно. Такие смещенные
порядки называют характеристиками.
В зависимости от типа данных числа с
плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся
в одном из следующих форматов:
При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат, выходящий за пределы диапазона представления чисел. При этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновением порядка (получение очень малого числа).
Примечание 4. В стандарте IEEE крайние значения порядка (характеристики) зарезервированы и не используются для представления обычных чисел. Максимальное значение характеристики, представленное всеми единицами при положительном знаке числа, зарезервировано для представления значения +∞ при нулевой мантиссе. При знаке минус число с максимальной характеристикой используется для представления -∞ и неопределенности. Значение с минимальной характеристикой, равной нулю, зарезервировано для представления денормализованных чисел (положительных и отрицательных), а также для представления нуля (представляется всеми нулями), причем различают +0 и –0.
Наиболее распространено и удобно для
представления в ЭВМ ограничение вида
<1.
Форма представления чисел, для которых
справедливо данное ограничение,
называется нормализованной.
Если нормализованное двоичное число положительно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде должна стоять . Если же число отрицательно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде дополнительного или обратного кода должен стоять .
Примечание 1.
Сочетания
и
в знаковом и старшем цифровом разрядах
означают выполнение одного из условий
нормализации
,
а сочетания
и
в этих же разрядах – нарушение этого
условия.
Для нормализации числа в этом случае
следует повторить цикл сдвига цифровой
части влево на один разряд (т. е. умножение
на
)
с одновременным вычитанием единицы из
порядка (что эквивалентно делению на
)
до тех пор, пока не начнет выполняться
условие нормализации.
Например, отрицательное число
является ненормализованным, так как в разряде знака и в старшем цифровом разряде имеет место сочетание . Для нормализации необходимо сдвинуть мантиссу на разряда влево, а из порядка вычесть число два . В результате получим нормализованное число
