Тема 4.3. Градієнт, похідна за напрямком. Екстремум фбз

1. Що називається скалярним полем? Навести приклади.

2. Вивести формулу для похідної за напрямком.

3. В чому полягає фізичний зміст похідної за напрямком?

4. Дати означення градієнта скалярного поля. Довести теорему про зв’язок градієнта і похідної за напрямком.

5. Сформулювати і довести властивості градієнта.

6. Дати визначення точки локального екстремуму.

7. Сформулювати і довести теорему про достатні умови локального екстремуму функції двох змінних.

8. Дати означення і описати спосіб знаходження умовного екстремуму.

9. В якому випадку задачу на умовний екстремум можна звести до задачі на звичайний екстремум?

Розділ 5. Інтегральне числення Тема 5.1. Невизначений інтеграл

1. Що називається первісною даної функції? Навести приклади.

2. Сформулювати і довести теорему про загальний вигляд первісної функції.

3. Що називається невизначеним інтегралом від даної функції? Інтегральною кривою?

4. Сформулювати і довести основні властивості невизначеного інтеграла.

5. В чому суть інваріантності формули інтегрування? Навести приклади.

6. Написати і перевірити диференціюванням таблицю інтегалів.

7. В чому полягає методи безпосереднього інтегрування, частинами і заміни змінної? Навести приклади.

8. Записати розклад многочлена на лінійні множники і квадратні тричлени з дійсними коефіцієнтами.

9. Який раціональний дріб називається правильним?

10. Записати розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби.

11.Як інтегруються елементарні дроби.

11. В чому полягає метод інтегрування раціонального дробу?

12. Навести приклади інтегрування ірраціональних функцій.

Тема 5.2. Визначений інтеграл

1. В чому полягає задача про площу криволінійної трапеції?

2. Що називається визначеним інтегралом? Виразити за допомого визначеного інтеграла поняття, названі в попередньому питанні.

3. Сформулювати теорему про існування визначеного інтеграла.

4. Сформулювати і довести властивості адитивності і збереження знака визначеного інтеграла.

5. Сформулювати. Довести і геометрично проілюструвати теорему про оцінку інтеграла.

6. Сформулювати, довести і геометрично проілюструвати теорему про середнє значення.

7. Сформулювати і довести теорему про похідну від інтеграла зі змінною верхнею межею.

8. Записати і довести формулу Ньютона-Лейбніца.

9. В чому полягає метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі?

10. В чому полягає метод заміни змінної у визначеному інтегралі?

11. Як обчислити площу плоскої фігури в системі декартових координат? полярних координат? у випаду лінії заданої параметричними рівняннями?

12. Як обчислити довжину дуги кривої в системі декартових координат? полярних координат? у випаду лінії заданої параметричними рівняннями?

13. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення об’єму тіла за площами його паралельних перерізів.

14. Вивести формули для об’ємів тіл обертання.

15. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.

16. Що називається невласним інтегралом першого роду? Навести приклади.

17. Що називається невласним інтегралом другого роду? Навести приклади.

18. Сформулювати ознаки збіжності невласних інтегралів.

19. Вивести формули прямокутників, трапецій і парабол для наближеного обчислення визначених інтегралів.