Примерная тематика курсовых работ

1. Суммируемые функции.

2. Функции, суммируемые с квадратом.

3. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса.

4. Абсолютно непрерывные функции. Неопределенный интеграл Лебега.

5. Сингулярные интегралы.

6. Точечные множества в двумерном пространстве.

7. Измеримые функции нескольких переменных и их интегрирование.

8. Функции множества и их применения в теории интегрирования.

9. Трансфинитные числа.

10. Интеграл Перрона.

11. Функции с неограниченными областями задания.

12. Полные метрические пространства.

13. Пространства непрерывных функций.

14. Компактные множества в метрических пространствах.

15. Квазиравномерная сходимость.

Примерный перечень вопросов к экзамену

1. Сравнение бесконечных множеств. Равномощные и неравномощные множества. Понятие мощности множества.

2. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел.

3. Несчётность отрезка числовой прямой и множества действительных чисел. Множества мощности континуум.

4. Мощность множества подмножеств. Существование множеств сколь угодно большой мощности.

5. Континуальность множества подмножеств счётного множества.

6. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна. Понятие о трансфинитном ряде мощностей.

7. Замкнутые и открытые множества на прямой, их свойства.

8. Совершенные множества. Строение открытых и замкнутых множеств.

9. Канторово совершенное множество.

10. Мощность замкнутых и совершенных множеств.

11. Мера открытых и замкнутых множеств на прямой.

12. Множества, измеримые по Лебегу.

13. Теоремы об измеримых множествах.

14. Функции, измеримые по Лебегу, их свойства.

15. Интеграл Лебега от ограниченной функции и его основные свойства.

16. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Критерий интегрируемости по Риману ограниченной функции.

17. Определение метрического пространства. Понятие окрестности точки. Сходящиеся последовательности точек. Фундаментальные последовательности.

18. Примеры метрических пространств.

19. Замкнутые и открытые множества в метрическом пространстве, их свойства.

20. Полные метрические пространства. Полнота пространств Rⁿ и .

21. Операторы и функционалы. Предел и непрерывность отображений.

22. Сжимающие отображения метрического пространства в себя. Теорема Банаха о неподвижной точке.

23. Понятие гильбертова пространства. Критерий полноты ортогональной системы в гильбертовом пространстве.

24. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах.

Список Рекомендуемой литературы

основной

1. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. – М.: Наука, 1967.

2. Вулих, Б.З. Краткий курс функций вещественной переменной / Б.З. Вулих. – М.: Наука, 1973.

3. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1976.

4. Макаров, И.П. Дополнительные главы математического анализа / И.П. Макаров. – М.: Просвещение, 1968.

5. Натансон, И.И. Теория функций вещественной переменной / И.И. Натансон. – М.: Наука, 1974.

6. Очан, Ю.С. Сборник задач по математическому анализу / Ю.С. Очан. – М.: Просвещение, 1981.

дополнительный

1. Антоневич, А.Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу / А.Б. Антоневич, П.Н. Князев, Я.В. Радыно. – Минск: Вышэйшая школа, 1978.

2. Люстерник, Л.А., Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: Наука, 1965.

3. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа / В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968.

4. Теляковский, С.А. Сборник задач по теории функций действительного переменного / С.А. Теляковский. – М.: Наука, 1980.

5. Треногин, В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу / В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Наука, 1984.