Тема 10. Принцип сжимающих отображений

1. Понятие сжимающего отображения.

2. Теорема Банаха о неподвижной точке.

3. Применение принципа сжимающих отображений.

См. список литературы: [1, гл. 3.5]; [4, гл. 7.5 – 7.8].

Краткие теоретические сведения

1. Определение сжимающего отображения.

Пусть М – метрическое пространство, и оператор А отображает М в себя.

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любых выполняется .

2. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства м в себя имеет одну и только одну неподвижную точку.

Задачи

107. Отображение А на полупрямой переводит каждую точку в . Является ли оно сжимающим и имеет ли неподвижную точку?

108. Доказать, что всякое сжимающее отображение А метрического пространства Х в метрическое пространство У является непрерывным.

109. Пусть дано отображение отрезка в себя. Доказать, что если , то отображение будет сжимающим.

110. Дано отображение отрезка в себя и . Будет ли иметь решение уравнение ?

111. Показать, что отображение оси Ох в себя имеет единственную неподвижную точку. В качестве приближенного значения корня уравнения взять третий член последовательности , полученной методом итерации, и оценить величину погрешности.

112. Пусть дано отображение оси Ох в себя. Показать, что на луче отображение будет сжимающим. Положив , методом итерации найти 6 членов последовательности . Указать интервал, в котором заключен корень уравнения .

113. Используя принцип сжимающих отображений, доказать теорему существования и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений: .

VI. Гильбертовы пространства Тема 11. Гильбертовы пространства и обобщенные ряды Фурье

1. Понятие гильбертова пространства.

2. Ортогональные системы векторов в гильбертовом пространстве.

3. Критерий полноты ортогональной системы.

4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах.

См. список литературы: [1, гл. 1, 2].

Краткие теоретические сведения

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре его элементов поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое и называемое скалярным произведением так, что выполняются следующие аксиомы:

1) тогда и только тогда, когда х ≡ 0;

2) ;

3) для любого ;

4) .

Множество Н называется нормированным пространством, если каждому элементу х пространства Н ставится в соответствие действительное число, называемое нормой этого элемента и обозначаемое , которое удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):

1) ;

2) ;

3) , .

Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что в евклидовом пространстве можно ввести норму элемента х равенством: .

Последовательность элементов {х_n} линейного нормированного пространства сходится к х, если . Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме.

Последовательность {х_n} нормированного пространства называется фундаментальной, если при , т.е. .

Лемма: Всякая сходящаяся в нормированном пространстве последовательность является фундаментальной.

Нормированное пространство называется полным (или пространство называется полным в норме), если в нем сходится всякая фундаментальная последовательность.

Бесконечномерное пространство Н со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно является полным по метрике или полным в этой норме . Например, евклидово пространство является гильбертовым.

Углом между ненулевыми элементами вещественного гильбертова пространства называется угол такой, что . Элементы называют ортогональными, если .

Система ненулевых элементов называется ортогональной, если при .

Ортогональная система называется полной, если любой элемент х из Н может быть представлен в виде так называемого ряда Фурье: , где – коэффициенты Фурье ( ).

Задачи

107. Проверить, что следующие векторные пространства являются гильбертовыми:

1) со скалярным произведением где ;

2) со скалярным произведением .

107. В линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на отрезке функций положим . Является ли данное пространство гильбертовым?

108. Доказать существование ортонормального базиса в любом гильбертовом пространстве.

109. Пусть – ортогональная система в гильбертовом пространстве Н, . Доказать, что .

110. Установить, что размерность гильбертова пространства не зависит от выбора ортонормального базиса.

111. Проверить, что изоморфизм гильбертовых пространств Н и Н₁ имеет место тогда и только тогда, когда .