III. Мера лебега Тема 5. Понятие меры Лебега

1. Мера открытых и замкнутых множеств на прямой.

2. Внешняя и внутренняя меры линейного множества.

3. Свойства внешней и внутренней меры.

4. Мера Лебега и ее свойства.

5. Множества, измеримые по Лебегу.

6. Измеримость открытых и замкнутых множеств.

7. Теоремы об измеримых множествах.

См. список литературы: [4, гл. 5.3 – 5.4]; [5, гл. 3.1 – 3.4].

Краткие теоретические сведения

В теории меры Лебега рассматривается вопрос об измерении точечных ограниченных линейных множеств. Понятие меры является обобщением понятия длины промежутка. Например, мерой интервала (a; b) называется его длина, т.е. число b – a.

Обозначение: m(a; b) = b – a.

Рассмотрим произвольное ограниченное множество Е на прямой. Пусть {A_i} – конечная или счетная система непересекающихся интервалов таких, что Е . Тогда {A_i} называется покрытием множества Е, а число , где α_i = mA_i, называется протяженностью (или длиной) покрытия {A_i}.

Определение. Внешней мерой m^*E множества Е называется нижняя грань протяженностей всевозможных покрытий множества Е:

m^*E = inf{ }.

Внутренней мерой m_*E множества E называется число m_*E = b – a – m^*C_ΔE, где Δ = [a; b] – наименьший отрезок, содержащий Е. В частности, если

Δ = [0; 1], то m_*E = 1 – m^*CE, где СЕ = [0; 1] \ Е.

Если m^*E = m_*E, то множество Е называется измеримым, а общее значение внешней и внутренней мер называется мерой Лебега и обозначается mE.

Задачи

76. Показать, что для всякого ограниченного множества Е m_*E m^*E.

77. Показать, что внешняя и внутренняя меры обладают свойством монотонности, т.е. если Е₁ Е₂, то m^*E₁ m^*E₂ и m_*E₁ m_* E₂.

78. Доказать, что любое конечное множество измеримо и мера его равна нулю.

79. Доказать, что мера счетного множества равна 0. Чему равна мера множества рациональных чисел отрезка [0; 1]?

80. Найти меру множества иррациональных чисел отрезка [a; b].

81. Доказать, что мера пустого множества равна 0.

82. Приведите пример двух множеств А и В таких, что А В, А В, но mA = mB.

83. Приведите пример множества Е такого, чтобы m(Int E) = m .

Убедиться в том, что для множества иррациональных чисел отрезка [0; 1] указанное равенство не выполняется.

84. Доказать, что если Е₁ и Е₂ – измеримые множества, то измеримы

Е₁ Е₂, Е₁ Е₂, Е₁ \ Е_2.

85. Доказать, что если Е₁ и Е₂ – измеримые множества и Е₁ Е₂ = Ø, то

m(Е₁ Е₂) = m Е₁ + mЕ₂ (свойство конечной аддитивности меры Лебега).

86. Доказать, что если Е₁, …, Е_n,… – измеримые попарно непересекающиеся множества, то (свойство полной аддитивности меры Лебега).

87. Доказать, что пересечение счетного множества измеримых множеств – измеримое множество.

88. Найти меру множеств P_α и G_α (см. задачу № 75).

Тема 6. Измеримые функции

1. Функции, измеримые по Лебегу

2. Свойства функций, измеримых по Лебегу.

См. список литературы: [4, гл. 5.5]; [5, гл. 4.1 – 4.2].

Краткие теоретические сведения

Пусть задана некоторая функция f : E → R. Множество решений неравенства f(x) ≤ A будем обозначать символом Е(f ≤ A). Аналогичный смысл имеют обозначения Е(f < A), Е(f ≥ A), Е(f > A).

Функция f : E → R называется измеримой на множестве Е, если:

1. множество Е – измеримо;

2. для любого А множество Е(f > A) – измеримо (- ∞ < A < +∞).

Две функции, отличающиеся друг от друга только на множестве меры нуль, называются эквивалентными. Они обе либо измеримы, либо неизмеримы.

Задачи

89. Показать, что любая функция f(x), определенная на множестве меры нуль, измерима.

90. Показать, что если множество Е(f > A) измеримо для любого А, то измеримы и множества Е(f ≥ A), Е(f ≤ A), Е(f < A).

91. Показать, что функция, тождественно равная постоянной на измеримом множестве Е, измерима на нем.

92. Показать, что функция Дирихле

измерима на любом отрезке [a; b].

93. Показать, что функция f(x) = [x] (целая часть х, т.е. наибольшее целое число, не превышающее х) измерима на [a; b].

94. Доказать измеримость функции f(x) = φ(x)·sinx на отрезке , где φ(x) – функция Дирихле.

95. Доказать, что если функция (f(x))³ измерима на Е, то и f(x) измерима на Е.

96. Показать, что из того, что функция измерима на Е, еще не следует, что f(x) измерима на Е.

97. Доказать, что если f(x) определена и непрерывна на [a; b], то она измерима на нем.

98. Говорят, что некоторое свойство имеет место почти всюду на Е, если оно выполняется во всех точках множества Е за исключением, быть может, некоторого его подмножества меры нуль.

Доказать, что если f(x) непрерывна почти всюду на Е, то она измерима на нем. Будет ли непрерывная функция, заданная на произвольном измеримом множестве Е, измерима на нем?

99. Доказать, что монотонная функция f(x), заданная на измеримом множестве Е, измерима на нем.

100. Пусть функция f(x) измерима на Е. Доказать измеримость следующих функций:

f(x) + K; k · f(x); [f(x)]²; ; (f(x) 0).

101. Доказать, что сумма и разность измеримых функций есть функция измеримая.

102. Если существует такое число М, что для любого разбиения отрезка

[a; b] на конечное число частей выполняется неравенство:

,

то функция f(x) называется функцией с ограниченным изменением на отрезке [a; b].

Доказать, что функция с ограниченным изменением на [a; b] измерима на [a; b].

103. Пусть f : E → R и g : E → R – измеримые функции. Доказать, что множество Е(f > g) измеримо по Лебегу.

104. Дана измеримая функция f : E → R и Е₁ – измеримое подмножество множества Е. Является ли множество f(Е₁) измеримым? Если нет – привести пример.

105. Пусть Е = , где Е, Е_i – для любого i измеримы, и

f : E → R . Доказать, что функция f измерима на Е, если она измерима на каждом из Е_i.

106. Доказать измеримость следующих функций, определенных на

[0; 1]:

а)

б)

где Р₀ – совершенное множество Кантора, G₀ – дополнение множества Р₀ до отрезка [0; 1];

в)

г)

д)

е)