II. Множества на числовой прямой Тема 3. Замкнутые и открытые множества

1. Понятие предельной точки. Примеры.

2. Замкнутые множества. Их свойства. Примеры.

3. Открытые множества. Их свойства. Примеры.

4. Совершенные множества.

См. список литературы: [4, гл. 2.4 – 2.8]; [5, гл. 2.1 – 2.3].

Краткие теоретические сведения

Пусть x, y E. Неотрицательная функция (х, у), ставящая в соответствие любой паре элементов х, у множества Е некоторое неотрицательное действительное число и удовлетворяющая трем аксиомам:

1. ( (х, у) = 0) (х = у) – аксиома тождества;

2. (х, у) = (у, х ) – аксиома симметрии;

3. (х, у) (х, z) + (z, у) – аксиома треугольника,

называется расстоянием между элементами х и у (или метрикой множества Е). Множество, на котором определена метрика, называется метрическим пространством.

Далее рассматриваются только линейные множества, т.е. множества точек числовой прямой R. Метрика этого пространства:

(х, у) = .

Окрестностью точки х₀ называется множество всех точек х метрического пространства, удовлетворяющих условию: (х, х₀) < . Число > 0 называется радиусом окрестности.

Пусть Е R. Точка х₀ R называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки х₀ содержится хотя бы одна точка х Е, отличная от х₀.

Из определения следует, что в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное множество точек из Е.

Множество всех предельных точек множества Е называется производным множеством и обозначается Е .

Множество = Е Е  называется замыканием множества Е.

Если Е  Е, то множество Е называется замкнутым.

Если Е Е , то множество Е называется плотным в себе.

Если Е = Е , то Е называется совершенным множеством.

Точка х₀ Е называется изолированный точкой множества Е, если существует окрестность , не содержащая ни одной отличной от х₀ точки множества Е, т.е.:

.

Точка х₀ Е называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки х₀, такая что

.

Множество всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е и обозначается Int(E).

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

Задачи

41. Найти предельные точки множеств:

а) {1, , , …, , …};

б) A = ;

в) A = ;

г) A = (0; 2) (-1; 1);

д) A = [0;2) (-1; 0].

42. Пусть Е  – производное множество множества Е. Доказать, что а   Е  тогда и только тогда, когда существует окрестность S точки а такая, что E – бесконечное множество.

43. Доказать, что конечное множество не имеет предельных точек.

44. Доказать, что а Е \ Е  тогда и только тогда, когда существует такая окрестность , что Е S = {a}.

45. Пусть Е – некоторое множество точек, расстояние между которыми . Доказать, что Е не имеет предельных точек.

46. Доказать, что производное множество Е  любого бесконечного множества Е замкнуто.

47. Докажите эквивалентность следующих условий:

а) Е – замкнуто;

б) Е = .

48. Докажите, что

а) (А В)  = А  В ;

б) (А В)  = А  В ;

в) А  \ В  (А \ В) ;

г) А   А .

49. Заполните следующую таблицу:

Множество	Является ли множество				Найти
	ограни-ченным	замкну-тым	откры-тым	совер-шенным		Int(E)	Е 	Е\ Е
Ø
R
Q
I
конечное
(a; b)
(a; b]
[a; b)
[a; b]
{1;0}

50. Пусть – замыкание множества А. Доказать, что:

а) = ;

б) = ;

в) А ;

г) ;

д) (А В) ( );

е) .

51. Доказать, что если А = и В = , то = .

52. Пусть Int(E) – внутренность множества Е. Доказать, что:

а) Int(E) Е;

б) Int(Int(E)) = Int(E);

в) Int(E₁ Е₂) = Int(E₁) Int(Е₂);

г) (Е₁ Е₂) (Int(E₁) Int(Е₂)).

53. Пусть f(x) – непрерывна на замкнутом множестве. Доказать, что множество решений неравенства f(x) a – замкнуто.

54. Пусть G_i (i = 1, 2, … , n) – открытые множества. Доказать, что:

а) – открыто;

б) – открыто.

55. Доказать, что сумма любого числа открытых множеств открыта.

56. Пусть F_i (i = 1, 2, … , n) – замкнутые множества. Доказать, что:

а) – замкнуто;

б) – замкнуто.

57. Доказать, что пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

58. Привести примеры:

а) счетного множества открытых множеств, пересечение которых не является открытым множеством;

б) счетного множества замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым множеством.